Moje teoretické otázky skupiny B (bez bodů, ty si nepamatuji):
Edituji to jak si průbežně vzpomínám...
1. Dokažte (A<->B)->[(C<->D)->((AvC)<->(BvD))].
2. Rozepsat zkratky AvB, A&B, A<->B pomocí implikácí a negací a ukázat že to tak je.
3. Dokažte (A & B) v (A & C) <-> (A & (B v C) ).
4. Napište pravidla pro převod do prenexního tvaru a jedno z nich dokažte (resp. ukažte že je to ekvivalentí úprava).
5. Dokažte reflexivitu u rovnosti.
6. ???
7. Máme T a její rozšíření T', mají jazyky L a L' a modely M a M'. Co je to redukce a expanze modelu? Co platí pro jazyky? Napište pomocí modelů nutnou podmínku pro to, aby T' bylo konzervativním rošířením T.
8. Dá se každá teorie rozšířit do úplné teorie? Kdy je toto rozšíření konzervativní?
9. Dokažte, že má-li teorie v PL model, je bezesporná.
10. Napište axiomy Peanovy aritemtiky prvního řádu a dokažte ( x != 0 ) -> ( (Ey) x = S(y) ).
Jinak ta první část byla trochu jinak než píšeš a ačkoliv jsem po jejím dopsání byl trochu v šoku, zvládl jsem ji. Pokud jsi to celé četl a rozumíš tomu, není to zas tak takový problém, váhal jsem jen u pár bodíků
Vypíšu sem i ty otázky z té "praktické" části - jen typově, všechny ty výrazy si nepamatuji
Varianta D.
1)
A(x, A(x,y)) |= A(x,x) -> A(x,y)
Je formule VL,je formule PL, obsahuje formuli s implikací, jsou dvě formule oddělené znaménkem sémantického důsledku, obsahují symbol dokazatelnosti.
2)
Spousta formulí, vždy jedna v prenexním a jedna v neprenexním tvaru a říci, jedná-li se o prenexní tvar dané formule.
3)
Spousta jednoduchých impikací a ekvivalencí stylu (Ex)A(x) <-> A(x), (Ex)(Vx)A(x) -> (Vx)(Ex)A(x) a určit zda platí v PL či ne.
4)( ( A -> D) -> non B ) -> ( B -> ( A -> D ) )
Je to axiom, věta, splnitelné, tautologie, dokazatelné z {D}.
5)x=x -> y=y
Je axiom rovnosti, je axiom identity, je už-nevím-co, je ekvivalentní fomuli non(x=y)&(y=x)...
6) Platí v PL: T|-A->(Vx)A, Je-li T|-(Ex)A, pak i T|-A a podobné formule které měly prověřit vaši znalost axiomů PL.
7) Je dán model standartní aritmetiky s predikáty A(x) = x je liché a B(x,y) = x < y. Je toto model následujících teorií?
A pod tím něco jako:
(Vx)(A(x)->(Ey)B(x,y)), ....
..bylo tolik spravnych odpovedi (x je liche,x<y) .. Tam byly teorie typu (Vx)(Ey)... -> A(x) ...a urcite tam nebylo napsano neco, z ceho by plynulo, ze pro vsechna prirozena cisla plati, ze jsou licha. Asi mi v tom neco nedochazi, nevim