Zkouška 25.5.2009

[dzasko]

1) T operátor na C[-1,1], Tf=Integral _-1¹ t*f(t) dt. Spočítejte normu T.
2) Operátor T na l⁵, Tx=(x₂,x₃,x₄,x₅,....). Vyšetřete spektrum T a určete, zda je T kompaktní.
3) Nalezněte ortogonální doplněk množiny M={x z l²: x¹+x²+x³=0}.

Na ústní jsem dostal otázku
1) Hahn-Banachova věta pro NLP a její důsledky
2) Věta o inverzním zobrazení

Z písemky jsem neměl dobře první příklad, v ústní jsem u 1) napsal H.-B. větu a 4 její důsledky, vše s důkazy. U 2) jsem napsal jen znění věty, chtěl po mě ještě doplnit, jak plyne z věty o otevřeném zobrazení, což jsem nevěděl. Tohle všechno ohodnotil známkou 3, ale shodli jsme se s ostatními, že u nich byl o něco mírnější. Já bych to viděl spíš na 2

[quark87]

Moje zadanie písomky:
1. Príklad 14.2 zo skrípt Prof. Lukeša
2. Príklad 14.18 opäť zo skrípt
3. dokázať, že na C[0,1] nejde zaviesť skalárny súčin tak, aby bol zhodný s pôvodnou normou na C[0,1].

Ústna časť:
1. Veta o Neumannovom rade a k čomu je to dobré
2. slabá konvergencia

K písomke: vačšinou sú to všetko príklady, ktoré sa buď počítali na cvičení alebo sú riešené v skríptách. K príkladu 2: podľa mňa je v skríptách riešený moc zložito a preto je to lepšie riešiť elementárne, výjde to úplne v pohode
Na ústnej som bol u Prof. Netuku. Príklady som mal všetky správne, pozrel sa na dôkaz Neumanna a slabú topológiu len prebehol a spýtal sa doplňujúcu otázku: príklad postupnosti, ktorá konverguje slabo, ale nekonverguje (silno). Samotná ústna skúška trvala asi 5 min, ale musel som na ňu čakať viac ako 2 hodiny.

[Thomyy]

Příklady:
1) Spočtěte normu operátoru Tf = 7f(-1) - 2f(0) + f(1/2), kde f z C[-1,1].
2) Vyšetřete spektrum, bodové spektrum operátotu Tx = (0, x₁, x₂/2,x₃/3,...). Zjistěte normu a kompaktnost operátoru.
3) Dokažte, že Tf = 1/2 ( f(x) + f(-x) ) je projekce. Spočtěte normu a napište KerT a obor hodnot T.

Ústní:
1) Hahn-Banachova věta (algebraická verze)
2) Věta o uzavřeném grafu

Na ústní je nejhorší to, že musíš čekat, než na tebe přijde řada. U Netuky jsem byl jen chvilku, projel se mnou příklady,
kouknul na teorii a zadal doplňující otázku, zda je v důkazu H-B věty ta kontrola funkce (rozuměj p: X -> R takové, že f <= p) jednoznačně určená - odpověď je ne:)
Jinak si myslím, že byl docela milej, akorát u kolegy dzaska asi už neměl dobrou náladu...

[weit_angel]

Příklady :
1) spočtěte normu operátoru : Tf = Int (od 0 do 1) f(sqrt(2))dt na C(0,1)
2) spočtěte bodové spektrum, spektrum a zda je operátor kompaktní : T {x_n} = (0,x_1,1/2*x_2,1/3*x_3,...)
3) ukažte, že na l^1 nelze zavést skalární součin.

Na ústní jsem byl u Lavičky, ten mi zadal tyto otázky :
1) Slabá konvergence
2) Věta o uzavřeném grafu

Při samotné zkoušce byl velice milý. Řekl bych, že pokud tam toho mate napsaného dost (a správně ), tak se skoro na nic neptá. Po mě chtěl navíc akorát příklad posloupnosti, která konverguje slabě, ale silně už ne. Celá ústní část mi trvala asi tak 10-15 minut. Ale musím opakovat to, co už říkali ostatní, že ta zkouška se může opravdu protáhnout.. písemná část začínala v 9 00, ze školy jsem odcházel v 14 00, a naprostou většinu té doby jsem jenom čekal . Tak hodně štěstí.

[Matfyzacka]

Moje zadani:
1, norma funkcionalu na prostoru C[0,1]: Tf = int_0^1 f(sqrt{t}) dt.
2, Bodove spektrum, spektrum a kompaktnost operator T na l^2: T{x_n} = (0,x_1, x_2 /2, x_3 /3, ...)
3, Ukazte, ze do prostoru l^1 nelze zavest skalarni soucin tak, aby dal puvodni normu tohoto prostoru.

Vse z Lukesovych skript, prvni dva resene, posledni nereseny.

Ustni: 1, vse, co vis o spektru
2, Separabilita se dedi dolu

Na ustni jsem byla u Netuky, priklady bez chyby, jen se zeptal, jak by se zmenilo spektrum, kdybych u druheho prikladu nemela prvni 0, ale rovnou x_1. O spektru jsem naspala vse, co jsme si rikali a dokazala jeho kompaktnost, dedeni separability s dukazem. Opet nemel poznamky, jen se zeptal, jestli vim protipriklad k tomu, ze separabilita se nededi nahoru. Po 5 vterinach, co jsem premyslela, mi napsal (L^1)* izo L^oo a zeptal se, ktery je separabilni a ktery ne, a pak jak bych ukazala neseparabilitu L^oo, pricemz mi vzapeti namaloval obrazek, zeptal se jaka je vzdalenost tech dvou veci, ja odpovedela a sla s jednickou Kdyz jsme srovnavali se skupinou od Lavicky, usoudili jsme, ze lepsi na ustni je asi Netuka.... Lavickovi se napr. nelibilo zneni "nasi" Banach-Steinhausovy vety

[Teminka]

tady je moje zadani..

Priklady z uvodu do funcionalky

1...14.5 stranka 83
2...14.15 stranka 90
3...14.23 stranka 95

Na ustni vybiral Lavicka asi z 20 temat...Ja dostal Hanh banachova veta algebraicka verze + dukaz, Reflexni prostor, aplikace plus priklad..Ostatni dostavali...Slaba konvergence, hanh banachova veta lnp plus aplikace, spektrum dal uz nevim ..Jinak Lavicka uplne v pohode akorat neuveritelne pomaly, jelikoz si sam overuje jestli to tak plati...takze se muze stat ze tam stravite cele dopoledne a ty posledni i odpoledne...ronald-jr.

[kejml]

Ahoj, moje otázky:

Příklady: Skripta Lukeše:
14.4, str. 83;
14.10, str. 86;
14.33, str. 96

Teorie: Banach-Steinhausova věta + důkaz, vše, co víš o reflexivních prostorech.