Drahoš - zkouška 31.1.

stinny
Matfyz(ák|ačka) level I
Příspěvky: 42
Registrován: 23. 1. 2007 15:23

Drahoš - zkouška 31.1.

Příspěvek od stinny »

1) Ověřte, že vztahy
u = tg(xy) + ln(x^2+y^2)
v = arcsin(2x) - (3^x)^y
určují na [u,v] (0,-1) lokálně funkce x = fi(u, v); y = psi(u, v), přičemž fi(0, -1) = 0 a psi(0, -1) = 1.
Napište rovnici tečné roviny grafu fuknce y = psi(u, v) v bodě (0, -1).

2) Najděte všechna řešení soustavy y` = Ay, kde A (( 1 1 1 ) ( 1 2 1 ) ( -1 -1 -1 )) (po řádcích). Najděte všechny takové body [a, b, c] z R^3, pro které existuje x_0 takové, že y_1(x_0) = a, y_2(x_0) = b, y_3(x_0) = c, a vektorová fce y je pro všechny x z R omezená.

3) Spočítejte objem tělesa T = { x^2 + y^2 + z^2 <= a^3*z; x >= 0; y >= 0; z >= 0 } pro parametr a > 0.
stinny
Matfyz(ák|ačka) level I
Příspěvky: 42
Registrován: 23. 1. 2007 15:23

Řešení

Příspěvek od stinny »

1) Fuj - implicitní funkce. Popsal jsem stránku a půl důkazy, že je to všechno spojité, hladké a bůhvíco, pak jsem začal šíleně derivovat, něco mi vyšlo, determinant té matice vazebních podmínek mi vyšel nenulový. Dál jsem nevěděl co s tím, tak jsem dosadil do vzorečku pro tečnou rovinu, kterou napsal Drahoš na tabuli nějaký derivace v inkriminovaném bodě - tak doufám, že mi to uzná.

2) Najdeme vlastní čísla matice A, jsou jimi 2 a 0 (s násobností 2). Příslušné řetězce jsou (tuším) pro dvojku (-2, -1, 1) a pro nulu (1, 0, -1) a (-1, 1, -1). Vyjde tedy obecné řešení tvaru (-2C_1 * e^2x + C_2 + C_3 * (1 - x), -C_1 * e^2x + C_3, C_1 * e^2x + C_2 + C_3 * (- x - 1)) (nebo něco podobného). Řešení druhé části (omezené řešení), je následující: funkce x, e^x, jakožto i jejich libovolná lin. kombinace jsou neomezené. Konstantní funkce je omezená, lin. kombinace omezené a neomezené funkce je funkce neomezená, takže jedinou možností je funkce y = (C, 0, -C), která je ve všech bodech rovna [C, 0, -C], což je řešením druhé části.

3) Třetí příklad byl celkem jednoduchý, nejdřív substituce do sférických souřadnic, z nerovnosti vyjde r <= a^3.cos(alfa), pravá strana je vždy kladná (viz. dále), jelikož x>=0, y>=0, z>=0, je tedy celé těleso v prvním oktantu a tedy z jakési geometrické představy plyne, že alfa i beta jsou v intervalu (0, Pi/2). Počítá se tedy integrál z r^2.sin(alfa) podle r od 0 do a^3.cos(alfa), potom podle alfa od 0 do Pi / 2, potom podle beta od 0 do Pi/2, vyšlo mi něco jako a^9*Pi/24, nejsem s tímhle výsledkem jediný, takže by to snad mohlo být i dobře.

Uvidíme, jak to Drahoš bude tentokrát opravovat, dozvíme se to ve 4 hodiny na Karlíně.
melda3
Matfyz(ák|ačka) level I
Příspěvky: 6
Registrován: 29. 1. 2007 17:39

Příspěvek od melda3 »

Rozvedl by pls nekdo reseni te implicitni funkce? Nerozumim tomu jak zde vyuzit vetu implicitnich funkcich. Dik :oops:
Stevko

Příspěvek od Stevko »

melda3 píše:Rozvedl by pls nekdo reseni te implicitni funkce? Nerozumim tomu jak zde vyuzit vetu implicitnich funkcich. Dik :oops:
Idem to spísať. Pribudne to tu ako PDF. Hádam ešte dnes.
Stevko_

Uloha

Příspěvek od Stevko_ »

Nuz, tu mate prvu ulohu vyriesenu. Urcite su tam chyby, ale hadam nie velke.
http://artax.karlin.mff.cuni.cz/~gurss5am/prva.pdf
Napisal som to v LyXe, takze pre "zdrojak": http://artax.karlin.mff.cuni.cz/~gurss5am/prva.lyx
stinny
Matfyz(ák|ačka) level I
Příspěvky: 42
Registrován: 23. 1. 2007 15:23

Příspěvek od stinny »

Tak tentokrát Drahoš opravoval celkem benevolentně, za první příklad mi dal 15 bodů, za ostatní jsem měl po 20. Byli tam i dva lidi, kteří měli 60 bodů :-)
Takže na ústní se dostala ~polovina lidí, nicméně někteří se s ním domluvili na jiném termínu, takže nás tam zůstalo 7.
Byli tři zkoušející, poznal jsem z nich jenom Drahoše, jednoho jsem tipnul na Spurného. Drahoš nakreslil na tabuli tabulku se třemi sloupci a řádky nadepsanými 1600, 1630, 1700, 1730, prý že podle toho půjdeme na ústní. V té chvíli už ale bylo 1625, takže pokus zavést do zkoušení systém se nevydařil ... a ústní probíhala stejně písemným způsobem jako v prváku - dostanete na zadání klíčový pojem, který je nutnou, avšak nikoliv postačující podmínkou k získání zkoušky, pak definici a dvě věty bez důkazu po 5 bodech, lehkou větu s důkazem za 10 bodů, těžkou větu s důkazem za 20 bodů, potřeba je alespoň 25. Body se sčítají s písemkou, hodnocení je 65-74 za 3, 75-84 za 2, 85 za 1.
Já jsem dostal celkem nepěkné otázky - takové, ve kterých jsem si nebyl moc jistý, byly lepší, ale byly i horší :-)
Zkoušel mě ten třetí, nevím, jak se jmenuje, ale byl to totální pohodář :-)
Klíčový pojem: Derivace funkce ve směru. Tady jsem měl pár chybek (jako např. že to má jít k nule jen zprava), ale nijak mu to nevadilo.
Definice: Pojem Eulerovy rovnice. Tady jsem napsal definici, i charakteristického mnohočlenu, i jak získáme fundamentální systém. Sice to po mně nechtěl, ale proč to tam nenapsat, že :-)
Věta 1: Leviho věta. Zapomněl jsem na předpoklad toho, že fn jde k f monotónně, ale tím, jak jsme se tak nějak bavili o tom, že někde je to uvedeno jako Lebesgeova věta a tak, tak mě to napadlo a dodal jsem to ještě dřív, než na to přišel :-)
Věta 2: Vázané extrémy. Fuj, taková dlouhá věta. Ale řekl mi, že stačí jen první část. Taky jsem to neměl úplně dobře, ale uznal mi to.
Lehká věta s důkazem: Souvislost spojitosti lineárního zobrazení a jeho omezenosti na jednotkové kouli. Tenhle důkaz byl v přepsaných poznámkách takový o ničem, ale při zkoušce jsem přišel na to, že to vlastně nic nedokazuje, tak jsem tam vymýšlel něco sám. A celkem jsem to ukecal, zkoušející mi pak napsal na papír vzorové řešení :-D
Těžká věta s důkazem: Derivace složené funkce. To jsem si tak nějak vzpomněl, uměl jsem to ale dokázat jenom přes diferenciál, což se mu moc nelíbilo, chtěl to přes parciální derivace, ale řekl jsem mu, že jsme to na přednášce měli takhle, a už byl spokojený :-)
Pak se podíval, že jsem z písemky měl 55 bodů, řekl, že na ústní těch 30 bylo určitě, Drahoš mi zapsal jedničku a už mám od analýzy nadobro (kromě bakalářky) pokoj :-)
Návštěvník

Příspěvek od Návštěvník »

stinny píše:Zkoušel mě ten třetí, nevím, jak se jmenuje, ale byl to totální pohodář :-)
Ten treti byl Dusan Pokorny.
jeza
Matfyz(ák|ačka) level I
Příspěvky: 4
Registrován: 13. 1. 2007 13:06

Ten druhý

Příspěvek od jeza »

A ten druhý byl Slavík. Vedl jedno z letošních cvičení.
Uživatelský avatar
Lukas Mach
Matfyz(ák|ačka) level III
Příspěvky: 261
Registrován: 28. 3. 2006 17:08
Typ studia: Informatika Bc.
Bydliště: Praha a Kladno
Kontaktovat uživatele:

Příspěvek od Lukas Mach »

Dve cviceni :-)
For every epsilon, there is delta.
Where is my delta?
Stevko_

Pokracovanie

Příspěvek od Stevko_ »

Bol som dnes na ustnej casti, ako pokracovani stredajsej pisomnej.
  1. Klucovy pojem: fundamentalny system
    1. Definicia: derivacia v smere
    2. Veta: Fubiniho
    3. Veta: Existencna pre riesenie rovnice y<sup>(n)</sup>=f(y<sup>(n-1)</sup>, y<sup>(n-2)</sup>, ..., y', x)
  2. Lahka veta+Dokaz: Vztah spojitosti a diferencialu
  3. Tazka veta+Dokaz: Podmienka konvexnosti (konkavnosti) funkcie (pozri vety 34 a 36)
Leshy

Příspěvek od Leshy »

Dneska jsem si udelal takovej individualni terminek, takze aj ja se s vami podelim o nejake ty prikady...

Pisemna cast:
  • 1. Extremy f(x,y,z) = x+y+z na M={(x,y,z)| x^2+y^2 = 1, y^2+z^2 = 1}
    2. Dif. rovnice 5y''-6y'+5y = exp(3x/5)cos(x)
    3. Plocha utvaru ohraniceneho krivkou (x^2+y^2)^2 = 8xya^2
Ustni cast:
  • 1. Klicovy pojem: diferencial
    • 2. a. Definice: sigma algebra
      2. b. Veta: Vztah k. diferencialu a k. parcialnich derivaci
      2. c. Veta: Substitucni veta
    3. Lehka veta + dukaz: Variace konstans pro y' = Ay+b
    4. Tezka veta + dukaz: Snizeni radu diferencialni rovnice.
No me treba ta lehka veta neprisla jako moc lehka. A dukaz jsme nedelali ani u jedny z nich, takze to bylo super. Drahos ale rikal, ze dukaz 3 delal na cviceni, tak ho ze me nakonec vypacil i kdyz jsem na jeho cviceni nikdy nebyl :). Zeptal se jeste na Bernoulliho rovnici a jak se resi a bylo to doma.
Odpovědět

Zpět na „2006“