Drahoš - zkouška 31.1.
Drahoš - zkouška 31.1.
1) Ověřte, že vztahy
u = tg(xy) + ln(x^2+y^2)
v = arcsin(2x) - (3^x)^y
určují na [u,v] (0,-1) lokálně funkce x = fi(u, v); y = psi(u, v), přičemž fi(0, -1) = 0 a psi(0, -1) = 1.
Napište rovnici tečné roviny grafu fuknce y = psi(u, v) v bodě (0, -1).
2) Najděte všechna řešení soustavy y` = Ay, kde A (( 1 1 1 ) ( 1 2 1 ) ( -1 -1 -1 )) (po řádcích). Najděte všechny takové body [a, b, c] z R^3, pro které existuje x_0 takové, že y_1(x_0) = a, y_2(x_0) = b, y_3(x_0) = c, a vektorová fce y je pro všechny x z R omezená.
3) Spočítejte objem tělesa T = { x^2 + y^2 + z^2 <= a^3*z; x >= 0; y >= 0; z >= 0 } pro parametr a > 0.
u = tg(xy) + ln(x^2+y^2)
v = arcsin(2x) - (3^x)^y
určují na [u,v] (0,-1) lokálně funkce x = fi(u, v); y = psi(u, v), přičemž fi(0, -1) = 0 a psi(0, -1) = 1.
Napište rovnici tečné roviny grafu fuknce y = psi(u, v) v bodě (0, -1).
2) Najděte všechna řešení soustavy y` = Ay, kde A (( 1 1 1 ) ( 1 2 1 ) ( -1 -1 -1 )) (po řádcích). Najděte všechny takové body [a, b, c] z R^3, pro které existuje x_0 takové, že y_1(x_0) = a, y_2(x_0) = b, y_3(x_0) = c, a vektorová fce y je pro všechny x z R omezená.
3) Spočítejte objem tělesa T = { x^2 + y^2 + z^2 <= a^3*z; x >= 0; y >= 0; z >= 0 } pro parametr a > 0.
Řešení
1) Fuj - implicitní funkce. Popsal jsem stránku a půl důkazy, že je to všechno spojité, hladké a bůhvíco, pak jsem začal šíleně derivovat, něco mi vyšlo, determinant té matice vazebních podmínek mi vyšel nenulový. Dál jsem nevěděl co s tím, tak jsem dosadil do vzorečku pro tečnou rovinu, kterou napsal Drahoš na tabuli nějaký derivace v inkriminovaném bodě - tak doufám, že mi to uzná.
2) Najdeme vlastní čísla matice A, jsou jimi 2 a 0 (s násobností 2). Příslušné řetězce jsou (tuším) pro dvojku (-2, -1, 1) a pro nulu (1, 0, -1) a (-1, 1, -1). Vyjde tedy obecné řešení tvaru (-2C_1 * e^2x + C_2 + C_3 * (1 - x), -C_1 * e^2x + C_3, C_1 * e^2x + C_2 + C_3 * (- x - 1)) (nebo něco podobného). Řešení druhé části (omezené řešení), je následující: funkce x, e^x, jakožto i jejich libovolná lin. kombinace jsou neomezené. Konstantní funkce je omezená, lin. kombinace omezené a neomezené funkce je funkce neomezená, takže jedinou možností je funkce y = (C, 0, -C), která je ve všech bodech rovna [C, 0, -C], což je řešením druhé části.
3) Třetí příklad byl celkem jednoduchý, nejdřív substituce do sférických souřadnic, z nerovnosti vyjde r <= a^3.cos(alfa), pravá strana je vždy kladná (viz. dále), jelikož x>=0, y>=0, z>=0, je tedy celé těleso v prvním oktantu a tedy z jakési geometrické představy plyne, že alfa i beta jsou v intervalu (0, Pi/2). Počítá se tedy integrál z r^2.sin(alfa) podle r od 0 do a^3.cos(alfa), potom podle alfa od 0 do Pi / 2, potom podle beta od 0 do Pi/2, vyšlo mi něco jako a^9*Pi/24, nejsem s tímhle výsledkem jediný, takže by to snad mohlo být i dobře.
Uvidíme, jak to Drahoš bude tentokrát opravovat, dozvíme se to ve 4 hodiny na Karlíně.
2) Najdeme vlastní čísla matice A, jsou jimi 2 a 0 (s násobností 2). Příslušné řetězce jsou (tuším) pro dvojku (-2, -1, 1) a pro nulu (1, 0, -1) a (-1, 1, -1). Vyjde tedy obecné řešení tvaru (-2C_1 * e^2x + C_2 + C_3 * (1 - x), -C_1 * e^2x + C_3, C_1 * e^2x + C_2 + C_3 * (- x - 1)) (nebo něco podobného). Řešení druhé části (omezené řešení), je následující: funkce x, e^x, jakožto i jejich libovolná lin. kombinace jsou neomezené. Konstantní funkce je omezená, lin. kombinace omezené a neomezené funkce je funkce neomezená, takže jedinou možností je funkce y = (C, 0, -C), která je ve všech bodech rovna [C, 0, -C], což je řešením druhé části.
3) Třetí příklad byl celkem jednoduchý, nejdřív substituce do sférických souřadnic, z nerovnosti vyjde r <= a^3.cos(alfa), pravá strana je vždy kladná (viz. dále), jelikož x>=0, y>=0, z>=0, je tedy celé těleso v prvním oktantu a tedy z jakési geometrické představy plyne, že alfa i beta jsou v intervalu (0, Pi/2). Počítá se tedy integrál z r^2.sin(alfa) podle r od 0 do a^3.cos(alfa), potom podle alfa od 0 do Pi / 2, potom podle beta od 0 do Pi/2, vyšlo mi něco jako a^9*Pi/24, nejsem s tímhle výsledkem jediný, takže by to snad mohlo být i dobře.
Uvidíme, jak to Drahoš bude tentokrát opravovat, dozvíme se to ve 4 hodiny na Karlíně.
Uloha
Nuz, tu mate prvu ulohu vyriesenu. Urcite su tam chyby, ale hadam nie velke.
http://artax.karlin.mff.cuni.cz/~gurss5am/prva.pdf
Napisal som to v LyXe, takze pre "zdrojak": http://artax.karlin.mff.cuni.cz/~gurss5am/prva.lyx
http://artax.karlin.mff.cuni.cz/~gurss5am/prva.pdf
Napisal som to v LyXe, takze pre "zdrojak": http://artax.karlin.mff.cuni.cz/~gurss5am/prva.lyx
Tak tentokrát Drahoš opravoval celkem benevolentně, za první příklad mi dal 15 bodů, za ostatní jsem měl po 20. Byli tam i dva lidi, kteří měli 60 bodů
Takže na ústní se dostala ~polovina lidí, nicméně někteří se s ním domluvili na jiném termínu, takže nás tam zůstalo 7.
Byli tři zkoušející, poznal jsem z nich jenom Drahoše, jednoho jsem tipnul na Spurného. Drahoš nakreslil na tabuli tabulku se třemi sloupci a řádky nadepsanými 1600, 1630, 1700, 1730, prý že podle toho půjdeme na ústní. V té chvíli už ale bylo 1625, takže pokus zavést do zkoušení systém se nevydařil ... a ústní probíhala stejně písemným způsobem jako v prváku - dostanete na zadání klíčový pojem, který je nutnou, avšak nikoliv postačující podmínkou k získání zkoušky, pak definici a dvě věty bez důkazu po 5 bodech, lehkou větu s důkazem za 10 bodů, těžkou větu s důkazem za 20 bodů, potřeba je alespoň 25. Body se sčítají s písemkou, hodnocení je 65-74 za 3, 75-84 za 2, 85 za 1.
Já jsem dostal celkem nepěkné otázky - takové, ve kterých jsem si nebyl moc jistý, byly lepší, ale byly i horší
Zkoušel mě ten třetí, nevím, jak se jmenuje, ale byl to totální pohodář
Klíčový pojem: Derivace funkce ve směru. Tady jsem měl pár chybek (jako např. že to má jít k nule jen zprava), ale nijak mu to nevadilo.
Definice: Pojem Eulerovy rovnice. Tady jsem napsal definici, i charakteristického mnohočlenu, i jak získáme fundamentální systém. Sice to po mně nechtěl, ale proč to tam nenapsat, že
Věta 1: Leviho věta. Zapomněl jsem na předpoklad toho, že fn jde k f monotónně, ale tím, jak jsme se tak nějak bavili o tom, že někde je to uvedeno jako Lebesgeova věta a tak, tak mě to napadlo a dodal jsem to ještě dřív, než na to přišel
Věta 2: Vázané extrémy. Fuj, taková dlouhá věta. Ale řekl mi, že stačí jen první část. Taky jsem to neměl úplně dobře, ale uznal mi to.
Lehká věta s důkazem: Souvislost spojitosti lineárního zobrazení a jeho omezenosti na jednotkové kouli. Tenhle důkaz byl v přepsaných poznámkách takový o ničem, ale při zkoušce jsem přišel na to, že to vlastně nic nedokazuje, tak jsem tam vymýšlel něco sám. A celkem jsem to ukecal, zkoušející mi pak napsal na papír vzorové řešení
Těžká věta s důkazem: Derivace složené funkce. To jsem si tak nějak vzpomněl, uměl jsem to ale dokázat jenom přes diferenciál, což se mu moc nelíbilo, chtěl to přes parciální derivace, ale řekl jsem mu, že jsme to na přednášce měli takhle, a už byl spokojený
Pak se podíval, že jsem z písemky měl 55 bodů, řekl, že na ústní těch 30 bylo určitě, Drahoš mi zapsal jedničku a už mám od analýzy nadobro (kromě bakalářky) pokoj
Takže na ústní se dostala ~polovina lidí, nicméně někteří se s ním domluvili na jiném termínu, takže nás tam zůstalo 7.
Byli tři zkoušející, poznal jsem z nich jenom Drahoše, jednoho jsem tipnul na Spurného. Drahoš nakreslil na tabuli tabulku se třemi sloupci a řádky nadepsanými 1600, 1630, 1700, 1730, prý že podle toho půjdeme na ústní. V té chvíli už ale bylo 1625, takže pokus zavést do zkoušení systém se nevydařil ... a ústní probíhala stejně písemným způsobem jako v prváku - dostanete na zadání klíčový pojem, který je nutnou, avšak nikoliv postačující podmínkou k získání zkoušky, pak definici a dvě věty bez důkazu po 5 bodech, lehkou větu s důkazem za 10 bodů, těžkou větu s důkazem za 20 bodů, potřeba je alespoň 25. Body se sčítají s písemkou, hodnocení je 65-74 za 3, 75-84 za 2, 85 za 1.
Já jsem dostal celkem nepěkné otázky - takové, ve kterých jsem si nebyl moc jistý, byly lepší, ale byly i horší
Zkoušel mě ten třetí, nevím, jak se jmenuje, ale byl to totální pohodář
Klíčový pojem: Derivace funkce ve směru. Tady jsem měl pár chybek (jako např. že to má jít k nule jen zprava), ale nijak mu to nevadilo.
Definice: Pojem Eulerovy rovnice. Tady jsem napsal definici, i charakteristického mnohočlenu, i jak získáme fundamentální systém. Sice to po mně nechtěl, ale proč to tam nenapsat, že
Věta 1: Leviho věta. Zapomněl jsem na předpoklad toho, že fn jde k f monotónně, ale tím, jak jsme se tak nějak bavili o tom, že někde je to uvedeno jako Lebesgeova věta a tak, tak mě to napadlo a dodal jsem to ještě dřív, než na to přišel
Věta 2: Vázané extrémy. Fuj, taková dlouhá věta. Ale řekl mi, že stačí jen první část. Taky jsem to neměl úplně dobře, ale uznal mi to.
Lehká věta s důkazem: Souvislost spojitosti lineárního zobrazení a jeho omezenosti na jednotkové kouli. Tenhle důkaz byl v přepsaných poznámkách takový o ničem, ale při zkoušce jsem přišel na to, že to vlastně nic nedokazuje, tak jsem tam vymýšlel něco sám. A celkem jsem to ukecal, zkoušející mi pak napsal na papír vzorové řešení
Těžká věta s důkazem: Derivace složené funkce. To jsem si tak nějak vzpomněl, uměl jsem to ale dokázat jenom přes diferenciál, což se mu moc nelíbilo, chtěl to přes parciální derivace, ale řekl jsem mu, že jsme to na přednášce měli takhle, a už byl spokojený
Pak se podíval, že jsem z písemky měl 55 bodů, řekl, že na ústní těch 30 bylo určitě, Drahoš mi zapsal jedničku a už mám od analýzy nadobro (kromě bakalářky) pokoj
- Lukas Mach
- Matfyz(ák|ačka) level III
- Příspěvky: 261
- Registrován: 28. 3. 2006 17:08
- Typ studia: Informatika Bc.
- Bydliště: Praha a Kladno
- Kontaktovat uživatele:
Pokracovanie
Bol som dnes na ustnej casti, ako pokracovani stredajsej pisomnej.
- Klucovy pojem: fundamentalny system
-
- Definicia: derivacia v smere
- Veta: Fubiniho
- Veta: Existencna pre riesenie rovnice y<sup>(n)</sup>=f(y<sup>(n-1)</sup>, y<sup>(n-2)</sup>, ..., y', x)
- Lahka veta+Dokaz: Vztah spojitosti a diferencialu
- Tazka veta+Dokaz: Podmienka konvexnosti (konkavnosti) funkcie (pozri vety 34 a 36)
Dneska jsem si udelal takovej individualni terminek, takze aj ja se s vami podelim o nejake ty prikady...
Pisemna cast:
Pisemna cast:
- 1. Extremy f(x,y,z) = x+y+z na M={(x,y,z)| x^2+y^2 = 1, y^2+z^2 = 1}
2. Dif. rovnice 5y''-6y'+5y = exp(3x/5)cos(x)
3. Plocha utvaru ohraniceneho krivkou (x^2+y^2)^2 = 8xya^2
- 1. Klicovy pojem: diferencial
- 2. a. Definice: sigma algebra
2. b. Veta: Vztah k. diferencialu a k. parcialnich derivaci
2. c. Veta: Substitucni veta
4. Tezka veta + dukaz: Snizeni radu diferencialni rovnice. - 2. a. Definice: sigma algebra