Vyhraďte si na samotnou zkoušku hodně času - zkouška měla být od 16:00, pár minut pře půl pátou přišel Drahoš a překvapený, že nás je tolik začal hledat místnost. Nakonec jsme skončili v K1. Drahoš napsal zadání a odešel s tím, že kdo to bude mít hotové, má za ním přijít do kabinetu. Na zkoušku nám nechal opravdu luxusní čas. Na začátku říkal tři hodiny (s poznámkou, že to tak možná nebude pokaždé), myslím, že tento limit nedodržel. Poté první odevzdali své práce a následovala ústní zkouška, která taky zrovna neodsýpala. Zde rozdal zadání a čas na přípravu byl opět(sin x)^6 dostatečný...výborný:) Zadání dával rukou psané a nechával - nemá tedy ustálené sady otázek. Při ústní zkoušce nejdříve prošel písemnou část, šlo mu především o postup. U 3, úlohy, kde jsem měl řešení špatně, ani nekoukal na číselný výsledek, na dotaz, kolik to mělo vyjít mi sdělil, že neví, že by se musel kouknout do sbírky. Na ústní části to procházel poměrně podrobně - tady není normovaný prostor, ale metrický - co znamená, že prostor je úplný - jaké předpoklady má tato věta...A když stále nebyl rozhodnut, ptal se na další věty a pojmy.
Výsledek: z cca 20 lidí asi 7-8 šlo na ústní, ostatní odevzdali písemnou a vzhledem k pozdní noční hodině se domluvili, že ústní bude jindy. Nabídl jim, že si můžou napsat znovu i písemnou a vezme tu lepší. Na ústní zkoušce, pokud se nemýlím, dával buď 1 nebo vyhazoval. Já jsem jako poslední odcházel v 22:15 - s jedničkou v indexu
))Zadání písemné části (čas cca 3 hodiny ):
Extrémy f(x,y,z) = x*x + y*y + z*z + 2x + 4y - 6z
2,Řešte:
y1' = y2
y2' = y1 + exp(x) + exp(-x)
3,Plocha obrazce ohraničeného křivkou (x*x + y*y)^2 = a* (x^3 - 3xy^2), a > 0
(+ napověda, že jsou vhodné polární souřadnice ).
Zadání ústní části (každý dostal 6 úloh):
1, Definice diferenciálu
2, Definice derivace ve směru a její vztah k diferenciálu
3, Existenční věta pro počáteční úlohu rovnice y(n) = f(x,y,y',..., y(n-1)
4, Substituční věta (spokojil se s verzí od Slavíka, ale tuším, že na cvičení bylo chybně uvedeno, že Jakobián může být nulový na nulové množině, což dle Drahoše neplatí )
5, Vztah diferenciálu a spojitosti + důkaz
6, Věta o kontrakci + důkaz
7, Definice extrému fce víc proměnných
8, Definice řešení počáteční úlohy dif. rovnice
9, Fubiniho věta
10, Řešení homogénní rovnice y' = f(x,y)
11, Řešení Eulerovy rovnice
12, Fubiniho věta
Řešení:
1, mininum f(-1, -2, 3) = 14
2, y = 1/2( x - 1/2 exp(-2x) ) *exp(x) < 1,1 > -
- 1/2( x + 1/2 exp(2x) ) exp(-1) <1,-1 > +
c1 * exp(x) * <1,1> + c2 exp(-x) <1,-1>
(je to akorat dlouhy, mozna to jde jeste upravit)
<1,1> je vektor, c1,c2 libovolne konstanty
prvni dva cleny davaji partikularni reseni,
podledni dva daveji reseni homogenni rovnice
3, a*a Pi/4 (našel jsem to na http://mathworld.wolfram.com/Trifolium.html )
Nejtěžší příklad, zaslouží si popsat postup:
a, Substituce do polárních souřadnic
x = r sin(Fi),
y = r cos(Fi),
Jakobian = r.
Dosazenim do zadani dostaneme vztah
r^4 = a * r^3( sin^3(alfa) - 3 sin(Fi) cos^2(Fi) ),
ktery upravime na tvar ( je mozne i jiny, jde o to, aby se nam s tim lepe pocitalo)
r = a sin(Fi) * (4 sin^2(Fi) - 3).
b, pocitat budeme integral
integral r dr dFi,
protoze pocitame obsah, integrujeme 1, r je Jakobian, ktery tam musime pridat kvuli substituci.
c, Stanoveni mezi
pro r mame horni hranici, dolni hranice je 0 (nechame ho probihat od pocatku do horni hranice).
Tedy meze pro r budou (0, a sin(Fi) * (4 sin^2(Fi) - 3) )
Fi bude probihat od (0, 2Pi), nebot chceme integrovat celou plochu = musime obehnout jednou dokola. Nyni musime vzpomenout, ze chceme r pokazde kladne!!! Tedy musi platit: a sin(Fi) * (4 sin^2(Fi) - 3) > 0!
Vyresenim teto nerovnice dostaneme tri intervaly:
(Pi/3, 2Pi/3), (Pi, 4Pi/3), ( 5Pi/3, 2Pi ).
Vysledny integral bude soucet integralu pres jednotlive meze.
d, Obsah telesa je roven integralu
int[Pi/3, 2Pi/3] int[0..a sin(Fi) * (4 sin^2(Fi) - 3) ] r dr dFi +
int[Pi, 4Pi/3] int[0..a sin(Fi) * (4 sin^2(Fi) - 3) ] r dr dFi +
int[5Pi/3, 2Pi ] int[0..a sin(Fi) * (4 sin^2(Fi) - 3) ] r dr dFi
Potud to zajímalo doktora Drahoše. Odtud dale už je to určitý integrál, který jistě všichni umíme z minulého semestru
Dojde se k cos^6(Fi) nebo sin^6(Fi) + ..., což jde integrovat substituci t = tg x, ale zapomnel jsem, jak vyjádřit sin nebo cos x pomoci tg x, takze jsem to zkousel pres vztah pro polovicni uhel. Výsledek mi to nějaký dalo, ale špatný...asi numerická chybkaPoznámky k úlohám:
1, První dva příklady písemné části byly takříkajíc povinné. Kdo neví, jak by takové úlohy řešil, tak na zkoušce pravděpodobně neuspěje. Zato třetí úloha - integrál - stála za to. Po úpravě vycházel integrál součet tří integrálů lišících se akorát v mezích, v těchto integrálech byl
(sin x)^6, (sin x)^4, (sin x)^2. Spotřeboval jsem na to stohy papíru, vyšly mi dva výsledky, oba nesmyslné (103/48 Pi + sqrt( 3 ) * 123/16 ) a*a, druhy podobny. Drahoš ani na jeden z nich nekoukal, kouknul na začátek, jestli to dobře počítám a to mu stačilo. Myslím, že správný výsledek nikdo neměl, bylo to tak dlouhé, že se v tom chyba někde udělat musela...
Přijímám kritiku, pozorní rýpalové nechť mi opraví případné chyby či nepřesnosti, kterých jsem se dopustil. Dík
