Písemka 26.1.2006
Napsal: 26. 1. 2006 19:19
Skupina B:
1) Urči, zda množina T=R s níže definovanými operacemi + a x je tělesem"
a + b = a+b+1/2
a x b = a+b+2ab
(pokud myslite že ano, napřed určete, které prvky odpovídají 0 a 1 v tělese)
2) Najděte bázi a určete dimenzi vektorového prostoru všech symetrických matic typu 3x3 (A je symetrická, pokud AT = A) a pokud budete umět, i typu nxn
3) Definujte matici lineárního zobrazení k daným bázím. Přesně zformulujte a dokažte tvrzení o tom, jak souvisí skládání lineárních zobrazení s násobením jejich matic.
4) Které z následujících výroků jsou správné? Zdůvodněte
(a) Je-li řádkový prostor matice A roven sloupcovému prostoru matice A, pak A = AT
(b) Nechť U podm. R3 je lin. obal vektoru (1,2,3)T (přesněji, je to lin. obal jednoprvkové množiny {(1,2,3)T})a V podm. R3 je lineární obal (3,2,1)T. Pak U u V je podprostor R3
(c) Je-li V vektorový prostor dimenze n, pak libovolná soustava generátorů obsahujících n vektorů tvoří bázi V.
//tady v zadání chybělo, že soustava generátorů je z V
(d) Je-li hodnost A rovna hodnosti (Ab), pak soustava Ax=b má právě jedno řešení (kde (Ab) značí rozšířenou matici soustavy).
1) Urči, zda množina T=R s níže definovanými operacemi + a x je tělesem"
a + b = a+b+1/2
a x b = a+b+2ab
(pokud myslite že ano, napřed určete, které prvky odpovídají 0 a 1 v tělese)
2) Najděte bázi a určete dimenzi vektorového prostoru všech symetrických matic typu 3x3 (A je symetrická, pokud AT = A) a pokud budete umět, i typu nxn
3) Definujte matici lineárního zobrazení k daným bázím. Přesně zformulujte a dokažte tvrzení o tom, jak souvisí skládání lineárních zobrazení s násobením jejich matic.
4) Které z následujících výroků jsou správné? Zdůvodněte
(a) Je-li řádkový prostor matice A roven sloupcovému prostoru matice A, pak A = AT
(b) Nechť U podm. R3 je lin. obal vektoru (1,2,3)T (přesněji, je to lin. obal jednoprvkové množiny {(1,2,3)T})a V podm. R3 je lineární obal (3,2,1)T. Pak U u V je podprostor R3
(c) Je-li V vektorový prostor dimenze n, pak libovolná soustava generátorů obsahujících n vektorů tvoří bázi V.
//tady v zadání chybělo, že soustava generátorů je z V
(d) Je-li hodnost A rovna hodnosti (Ab), pak soustava Ax=b má právě jedno řešení (kde (Ab) značí rozšířenou matici soustavy).