dokaz o n-ty odmocnine
-
- Matfyz(ák|ačka) level I
- Příspěvky: 4
- Registrován: 7. 11. 2004 23:29
- Typ studia: Informatika Bc.
- Kontaktovat uživatele:
dokaz o n-ty odmocnine
Cawte, nedokaz by tu niekto nejak rozumne vysvetlit dokaz o n-tej odmocnine ? JA som z toho dokazu z prednasky uplne debil... nejak mi to nedava ziadnu suvislost. dik
- tutchek
- Site Admin
- Příspěvky: 795
- Registrován: 21. 9. 2004 00:40
- Typ studia: Informatika Mgr.
- Login do SIS: tulam4am
- Bydliště: Praha, Bohnice
- Kontaktovat uživatele:
Takže nejprva sem hodím tu větu a důkaz a pak řekni odkud dál je to mlha:
Věta:
$forall x > 0, x in RR qquad forall n in NN qquad exists "právě jedno" y in RR^+: y^n = x$
Důkaz:
Definujme množiny:
$M_1 = {k > 0, k in RR: k^n <= x}$
$M_2 = {k > 0, k in RR: k^n >= x}$
Označme:
$RR_0^{+} = {forall x in RR: x >= 0}$
$RR^+ = {forall x in RR: x > 0}$
potom: $RR^+ = M_1 uuu M_2$
Mezidůkaz:
Definujeme $y_1 := supremum M_1, y_2 := inf M_2$
Tvrdím, že $y_1^n <= x & x < y_2^n$
Mezidůkaz:
Dokázali jsme $y_1^n <= x$. Analogicky lze dokázat $x <= y_2^n$.
Takže celkem máme $y_1^n <= x <= y_2^n$. Chceme dokázat $y_1 = y_2$. Víme, že není možné aby $y_2 < y_1$ (jinak by platilo $y_1^n > y_2^n$).
Stačí vyloučit možnost $y_1 < y_2$:
$M_1 uuu M_2 = RR^+ & (q in RR^+ & q !in M_1 uuu M_2) bb{"SPOR"}$
$bb{"QED"}$
Věta:
$forall x > 0, x in RR qquad forall n in NN qquad exists "právě jedno" y in RR^+: y^n = x$
Důkaz:
Definujme množiny:
$M_1 = {k > 0, k in RR: k^n <= x}$
$M_2 = {k > 0, k in RR: k^n >= x}$
Označme:
$RR_0^{+} = {forall x in RR: x >= 0}$
$RR^+ = {forall x in RR: x > 0}$
potom: $RR^+ = M_1 uuu M_2$
Mezidůkaz:
Kód: Vybrat vše
$M_1 sub RR^+, M_2 sub RR^+," tedy" M_1 uuu M_2 sub RR^+$
$"Naopak, pokud" RR^+ sup (M_1 uuu M_2) & RR^+ != (M_1 uuu M_2) ", pak by " exists k: k !in (M_1 uuu M_2) => k^n < x & k^n > x => "spor s axiomy uspořádání (iii)"
Tvrdím, že $y_1^n <= x & x < y_2^n$
Mezidůkaz:
Kód: Vybrat vše
Kdyby $y_1^n > x stackrel("VĚTA 2")(=>) exists h > 0 : h > (n y_1^{n-1}) / (y_1^n - x) qquad bb{"TRIK"}$
Z vlastnosti suprema (ii) plyne $exists k in M_1 "tak, že " k >y_1 - 1/h$
Potom $y_1^n - x <= y_1^n - k^n$ (neboť $k in M_1$ a tedy $k^n <= x$, takže $-x <= -k^n$) $= (y_1 -k)(y_1^{n-1} + y_1^{n-2}k + ... + y_1k^{n-2}k + k^{n-1})$ (tato závorka obsahuje n členů $<= y_1^{n-1}$) $ <= (y_1 - k)ny_1^{n-1} < (n y_1^{n-1}) / h < y_1^n - x$
Tedy $y_1^n - x< y_1^n - x qquad bb{"SPOR"}$
Takže celkem máme $y_1^n <= x <= y_2^n$. Chceme dokázat $y_1 = y_2$. Víme, že není možné aby $y_2 < y_1$ (jinak by platilo $y_1^n > y_2^n$).
Stačí vyloučit možnost $y_1 < y_2$:
$M_1 uuu M_2 = RR^+ & (q in RR^+ & q !in M_1 uuu M_2) bb{"SPOR"}$
$bb{"QED"}$
exAdmin. Magistr přes umělou inteligenci. Právník přes daně.
- tutchek
- Site Admin
- Příspěvky: 795
- Registrován: 21. 9. 2004 00:40
- Typ studia: Informatika Mgr.
- Login do SIS: tulam4am
- Bydliště: Praha, Bohnice
- Kontaktovat uživatele:
Tak ono je potreba mit v MSIE mathplayer nebo Mozilla Firefox.... pak to udela hezke vzorecky.... a jinak doporucuju kazdymu svy vlastni poznamky.. . sorry ze jsem se tu s tim dukazem busilHypíz píše: Teda nevim jak tuxoovi, ale mně by to bylo mnohem srozumitelnější česky, než touhle hatmatilkou, to už si rači přečtu zápis z přednášky
exAdmin. Magistr přes umělou inteligenci. Právník přes daně.
Re: Vylepsenicko
Ne, podivej se na to takhle, ty v te vete chces existenci y, ze y^n = x a to tak,ze to y je prave jedine.qwertie píše:Nestacilo by vzdy dokazat ze to nemuze byt infimum/supremum?
Jenze ty nevis jestli takove existuje. My si nadefinujeme mnozinu S = { z z R, z^n >= x } a chceme y = inf S
My to vime, ale chceme y^n = z, takze chceme ukazat, ze S je neprazdna.
Urcite vime, ze z je maximum z (1, x^n), z tohoto a z toho, ze S je zdola omezena vime, ze infimum existuje.
Ted chceem dokazat rovnost, ukazeme to sporem:
y^n > x
y^n < x
tj. y-h a y+h
(y-h)^n > x
(y+h)^n < x
To prvni ukazeme trivialne podle Bernoulliho nerovnosti a v tom druhem rozepiseme 0 a mame tam hnedle vzorec a^n - b^n
Pro obe nerovnosti ukazeme, ze jsme takove h nasli, ale to je spor.
A protoze tedy y^n > x a zaroven y^n < x => y^n = x
supremum v tomhle pripade nehraje zadnou roli.
Re: dokaz o n-ty odmocnine
To máš ještě dobrý, my tyhle věci berem v prvním semestru FJFI.tuxo píše:Cawte, nedokaz by tu niekto nejak rozumne vysvetlit dokaz o n-tej odmocnine ? JA som z toho dokazu z prednasky uplne debil... nejak mi to nedava ziadnu suvislost. dik
-
- Matfyz(ák|ačka) level III
- Příspěvky: 181
- Registrován: 24. 2. 2005 10:03
- Typ studia: Informatika Mgr.
- Login do SIS: reidj4am
- Kontaktovat uživatele:
Re: dokaz o n-ty odmocnine
tohle archiv fora z prvniho semestru!!!Anonymous píše:To máš ještě dobrý, my tyhle věci berem v prvním semestru FJFI.tuxo píše:Cawte, nedokaz by tu niekto nejak rozumne vysvetlit dokaz o n-tej odmocnine ? JA som z toho dokazu z prednasky uplne debil... nejak mi to nedava ziadnu suvislost. dik
Don't worry, be dead
- Almer
- Site Admin
- Příspěvky: 686
- Registrován: 12. 10. 2004 10:58
- Typ studia: Informatika Ph.D.
- Login do SIS: lasap4am
- Bydliště: Mala Strana - 203
- Kontaktovat uživatele:
A to je rozdil mezi nami...lidem z MFF a lidem z CVUT. Protoze oni veri tomu, co vidi, co nameri a co se jim hodi, zatim co my lidi z MFF si to radeji overime, dokazeme, a pak to teprve prohlasime , ze to plati.Martin píše:Už vidím, jak tenhle trouba bude všude vykládat: Jo my to máme sakra těžší, než ty másla na MFF, to co oni berou až v druhým ročníku, jsme my měli už v prvním semestru.
Zakládající člen klubu Ortodoxních Matfyzáků
Jsem LAMER ale neumim se ani podepsat ]
Jsem LAMER ale neumim se ani podepsat ]