Dotazek k latce

[JV]

Ahojky!
S dovolenim bych mel dva uplne blbe primitivni dotazy...
a) Existuje supremum jen v realnych cislech? Je to to same jako maximalni/nejvetsi prvek?
b) Jak lze na zaklade axiomu R dokazat napr. x*0=0 nebo (x+y=x+z)==>(y=z)?
Fakt diky moc za odpoved:-),
JV

[js]

Je to to same jako maximalni/nejvetsi prvek?

Supremum neni totez, co maximalni prvek!!! Pokud si dobre vzpominam na prednasky z MA1 predloni, tak intuitivni rozdil mezi supremem a maximem je ten, ze MAXIMUM mnoziny musi patrit do mnoziny (tj. musi byt jejim prvkem), ale SUPREMUM mnoziny NEmusi byt prvkem te mnoziny... Mj. supremum se nazyva "nejmensi horni zavora".
Nazorny priklad:
Necht A={-1/n, n je prirozene cislo} je mnozina, pak supA=0, ale maxA neexistuje.
Analogicky vztah pro minimum/infimum.

[js]

a) Existuje supremum jen v realnych cislech?

jeste doplneni>> Realna cisla-usporadane komutativni teleso, na kterem plati axiom o supremu.
dle prikladu v predchozim prispevku bych rekla, ze axiom u supremu plati i pro prirozena, cela a racionalni cisla, kdyz plati i pro realna, ale dukaz po me nechtej

[Fx]

a) Existuje supremum jen v realnych cislech?

jeste doplneni>> Realna cisla-usporadane komutativni teleso, na kterem plati axiom o supremu.
dle prikladu v predchozim prispevku bych rekla, ze axiom u supremu plati i pro prirozena, cela a racionalni cisla, kdyz plati i pro realna, ale dukaz po me nechtej

Ja teda dukaz taky dohromady nedam, ale predpokladam, ze treba intervaly typu treba (1;5) maji infimum a supremum, ale v R nemaji min a max. Kdybychom uvazovali o N, tam by mel i min a max, a to 2 a 4, a infimum by bylo 2 a supremum 4? A v Q by to zase bylo, ze min a max nema a inf = 1 a sup = 5? Aspon takhle si to teda predstavuju ja, paklize inf a sup lze urcit i pro jina nez realna cisla. Ovsem cela, prirozena i racionalni cisla jsou podmnozinami mnoziny realnych cisel, tak proc by to pro ne nemelo platit...

[MyS]

No, ja si take myslim, ze sup/inf je pouzitelne na vsech ciselnych oborech, ale jen na R je definovane na KAZDOU neprazdnou podmnozinu, coz se o jinych rict neda. Jinak by me ale osobne celkem zajimala odpoved na JVovu b) otazku...vite nekdo?

[David Nohejl]

b) Jak lze na zaklade axiomu R dokazat napr. x*0=0 nebo (x+y=x+z)==>(y=z)?
Fakt diky moc za odpoved:-),
JV

Miluju google
podle me to jako dukaz uplne staci... kazdymu je jasny ze ten forcyklus (suma) od 1 do 0 se vubec neprovede

http://en.wikipedia.org/wiki/Multiplication

[tutchek]

a) Existuje supremum jen v realnych cislech?

jeste doplneni>> Realna cisla-usporadane komutativni teleso, na kterem plati axiom o supremu.
dle prikladu v predchozim prispevku bych rekla, ze axiom u supremu plati i pro prirozena, cela a racionalni cisla, kdyz plati i pro realna, ale dukaz po me nechtej

Ja teda dukaz taky dohromady nedam, ale predpokladam, ze treba intervaly typu treba (1;5) maji infimum a supremum, ale v R nemaji min a max. Kdybychom uvazovali o N, tam by mel i min a max, a to 2 a 4, a infimum by bylo 2 a supremum 4? A v Q by to zase bylo, ze min a max nema a inf = 1 a sup = 5? Aspon takhle si to teda predstavuju ja, paklize inf a sup lze urcit i pro jina nez realna cisla. Ovsem cela, prirozena i racionalni cisla jsou podmnozinami mnoziny realnych cisel, tak proc by to pro ne nemelo platit...

V N a Q nejsou definovane intervaly, to jen pro presnost...

[tutchek]

b) Jak lze na zaklade axiomu R dokazat napr. x*0=0 nebo (x+y=x+z)==>(y=z)?
Fakt diky moc za odpoved:-),
JV

Miluju google
podle me to jako dukaz uplne staci... kazdymu je jasny ze ten forcyklus (suma) od 1 do 0 se vubec neprovede

http://en.wikipedia.org/wiki/Multiplication

No googlem se v důkazu moc ohánět nemůžeš... já vymyslel toto:

$x*0 = 0$

Nyní si dovolím malý trik: $0 := a - a$
(a nalezi R)

viz axiom (iv) algebraické vlastnosti tělesa: $x + (-x) = 0$

$x*(a-a)=a-a$

viz axiom (ix) algebraické vlastnosti tělesa: $x(y+z) = xy + xz$
potom

$x*a - x*a = a-a$

potom:

$x*a - x*a = 0$
$a - a = 0 $

cili levá strana rovnice = pravé

zkrácená verze na jeden řádek

$x*0 = x*(a-a) = x*a - x*a = 0$ (jednotlivé axiomy viz výše)

$fr{QED}$

[tutchek]

(x+y=x+z)==>(y=z)

$x+y = x+z iff x - x + y = z iff 0 + y = z iff y=z$

axiom (iv) algebraicke vlastnosti telesa: $x + (-x) = 0$
axiom (iii) algebraicke vlastnosti telesa: $x + 0 = 0 + x = x$

$fr{QED}$ (btw: je to dokonce ekvivalentni )

prepokladam ze ekvivalentni upravy rovnic plati vzdy...

[tutchek]

A jeste neco pro odlehceni:


Na zakladni skole...Prijde takhle ucitelka do prvni tridy, a pta se:"Tak, deti. Uz jste nejakou tu hodinu matematiky meli, tak mi povezte, kolikpak je 2+1"...ticho,nikdo se nehlasi.."Ale deti, nedelejte mi ostudu"..jedna holcicka se teda prihlasi, a povida:"No, ja teda nevim kolik to je, ale urcite vim, ze je to to same jako 1+2, protoze scitani je operace komutativni na telese realnych cisel..."

[tutchek]

a posledni detail: preju hodne stesti tomu, kdo neveri ze -x = -1 * x, muze nam to tu dokazat

[David Nohejl]

b) Jak lze na zaklade axiomu R dokazat napr. x*0=0 nebo (x+y=x+z)==>(y=z)?
Fakt diky moc za odpoved:-),
JV

Miluju google
podle me to jako dukaz uplne staci... kazdymu je jasny ze ten forcyklus (suma) od 1 do 0 se vubec neprovede

http://en.wikipedia.org/wiki/Multiplication

No googlem se v důkazu moc ohánět nemůžeš... já vymyslel toto:

x*0 = 0

Nyní si dovolím malý trik: 0 := a - a
(a nalezi R)

viz axiom (iv) algebraické vlastnosti tělesa: x + (-x) = 0

x*(a-a)=a-a

viz axiom (ix) algebraické vlastnosti tělesa: x(y+z) = xy + xz
potom

x*a - x*a = a-a

potom:

x*a - x*a = 0
a - a = 0

cili levá strana rovnice = pravé

zkrácená verze na jeden řádek

x*0 = x*(a-a) = x*a - x*a = 0 (jednotlivé axiomy viz výše)

QED

Samozrejme jako dukaz nepovazuju ten link, ale to co je na ty strance... cetl si to vubec? doufam ze ne, pac je to pro cely cisla

[JV]

Diky vsem za Vase prispevky!!, zejm. tutchekovi...jen v "x+y = x+z <==> x - x + y = z" jsi predpokladal, ze pricteni nezname k obema stranam rovnice je ekvivalentni:-). Coz snad je , to by melo platit pro vsechny cisla obecne. Takze jeste jednou diky!
May the MFF be with you.

[tutchek]

Miluju google
podle me to jako dukaz uplne staci... kazdymu je jasny ze ten forcyklus (suma) od 1 do 0 se vubec neprovede

http://en.wikipedia.org/wiki/Multiplication

No googlem se v důkazu moc ohánět nemůžeš... já vymyslel toto:

x*0 = 0

Nyní si dovolím malý trik: 0 := a - a
(a nalezi R)

viz axiom (iv) algebraické vlastnosti tělesa: x + (-x) = 0

x*(a-a)=a-a

viz axiom (ix) algebraické vlastnosti tělesa: x(y+z) = xy + xz
potom

x*a - x*a = a-a

potom:

x*a - x*a = 0
a - a = 0

cili levá strana rovnice = pravé

zkrácená verze na jeden řádek

x*0 = x*(a-a) = x*a - x*a = 0 (jednotlivé axiomy viz výše)

QED

Samozrejme jako dukaz nepovazuju ten link, ale to co je na ty strance... cetl si to vubec? doufam ze ne, pac je to pro cely cisla

Cetl, pouzivalo to "nam nezname operace" ktere bys mel nejprva dokazat a pak na nich stavet....

[tutchek]

Diky vsem za Vase prispevky!!, zejm. tutchekovi...jen v "x+y = x+z <==> x - x + y = z" jsi predpokladal, ze pricteni nezname k obema stranam rovnice je ekvivalentni:-). Coz snad je , to by melo platit pro vsechny cisla obecne. Takze jeste jednou diky!
May the MFF be with you.

Prosim o jeden priklad kdy tomu tak neni

Jinak jsem videl pred casem takovou hezkou definici od jednoho SS ucitele co je ekvivalentni operace - ze to je v podstate aplikovani proste funkce na obe strany rovnice:

$a = b iff a + C = b + C$
funkce: $f(x) = x + C$

apod...