(1) zjistete AK,K,D u integralu na (0,nekonecno) pro alfa z (0, nekonecno)
(sinx * sin2x)/((x^alfa) * arctgx)
(2) urcete alespon jednu ZPF H k
h(x)=((sinx)^3)*(log(abs(sinx)))*cosx
na intervalu(-2pi,2pi). Na jakzch intervalech existuji ZPF?
(3) Vyreste dif. rovnici
y'-(x^3)=2xy
a urcete alespon 1 maximalni reseni, ktere je polynomem.Kolik takovych reseni existuje?
(4) vypoctete urcity integr. na (1,nekonecno)
1/((logx)^2 - 3logx + 3)*x
edit: uz opravene zadani ctvrteho prikladu(viz dalsi prispevek)
zkouska 19.6
-
- Matfyz(ák|ačka) level I
- Příspěvky: 2
- Registrován: 14. 6. 2006 08:47
- Typ studia: Informatika Bc.
zkouska 19.6
Naposledy upravil(a) Lessis dne 19. 6. 2006 16:16, celkem upraveno 2 x.
-
- Matfyz(ák|ačka) level I
- Příspěvky: 5
- Registrován: 4. 2. 2006 21:33
- Typ studia: Informatika Bc.
- Kontaktovat uživatele:
deckaaaa? nexce sa vam zase niekomu napisat pribLizny postup k tym prikLadom?
ja viem akurat za 4 sa riesi substituciou y=Log x, ostane 1/ (y^2- 3y +3) co upravime na 1/[(y-3/2)^2 + 3/4] co vydelime 3/4 a mame z toho arctan.
v tom urcitom integraly boLo treba pocitat argtan nekonecno - arctan(-Sgrt3)
a zvysne napiste pLis nekto iny...diki moc...
ja viem akurat za 4 sa riesi substituciou y=Log x, ostane 1/ (y^2- 3y +3) co upravime na 1/[(y-3/2)^2 + 3/4] co vydelime 3/4 a mame z toho arctan.
v tom urcitom integraly boLo treba pocitat argtan nekonecno - arctan(-Sgrt3)
a zvysne napiste pLis nekto iny...diki moc...
Ok, dneska jsem to psal, tak můžu nabídnout svůj postup:
3) lin.dif.rce 1.řádu, takže není nad čím váhat, například metoda integračního faktoru vás po dvou integracích - jedné triviální a druhé "těžké", která chtěla substituci t = - x^2 a pak per partes - dovede k cíli.
1) hodí se rozepsat sin2x na 2sinxcosx, potom stačí srovnat u nuly s funkcí 1\x^(alfa-1), protože "sinus se chová jako x, arctg se chová jako x, a cosinus se chová jako jednička". Vyjde, že integrál konverguje (absolutně) pro alfa menší než dvě.
U nekonečna to jde napasovat na Dirichleta, takže máme neabsolutní konvergenci pro alfa z (0,2) - jedině tam nás to ještě zajímá.
Pro absolutní konvergenci jsem se to pokoušel odhadnout takovou tou metodou "součet integrálů přes interval délky pí" - aby to splňovalo B-C podmínku. Vyšlo mi, že AK pro alfa z (0,1), ale neručím za to.
2) tohle bylo pracnější. Rozdělit na intervaly, kde je ta věc spojitá: (0,pi),(pi,2pi) apod., na nich po substituci za sin x, resp. -sin x najít primitivní funkce, určit jednostranné limity v krajních bodech, a nalepit. Trochu veselé bylo určování těch limit (když jsem se pokoušel o jakž takž formální zápis), ale co taky čekat u pana Veselého
3) lin.dif.rce 1.řádu, takže není nad čím váhat, například metoda integračního faktoru vás po dvou integracích - jedné triviální a druhé "těžké", která chtěla substituci t = - x^2 a pak per partes - dovede k cíli.
1) hodí se rozepsat sin2x na 2sinxcosx, potom stačí srovnat u nuly s funkcí 1\x^(alfa-1), protože "sinus se chová jako x, arctg se chová jako x, a cosinus se chová jako jednička". Vyjde, že integrál konverguje (absolutně) pro alfa menší než dvě.
U nekonečna to jde napasovat na Dirichleta, takže máme neabsolutní konvergenci pro alfa z (0,2) - jedině tam nás to ještě zajímá.
Pro absolutní konvergenci jsem se to pokoušel odhadnout takovou tou metodou "součet integrálů přes interval délky pí" - aby to splňovalo B-C podmínku. Vyšlo mi, že AK pro alfa z (0,1), ale neručím za to.
2) tohle bylo pracnější. Rozdělit na intervaly, kde je ta věc spojitá: (0,pi),(pi,2pi) apod., na nich po substituci za sin x, resp. -sin x najít primitivní funkce, určit jednostranné limity v krajních bodech, a nalepit. Trochu veselé bylo určování těch limit (když jsem se pokoušel o jakž takž formální zápis), ale co taky čekat u pana Veselého
Re: zkouska 19.6
Tak jak jsem to resil ja, nerikam ze to je nutne spravne.
sin(x) = t
-> (t^3)*log(abs(t))
Na to se hodi perpartes. Nakonci je problem s lepenim, musi se dopocitat limity, to jsem nezvladl, ale udajne lopitalem to bylo hned. Vysledna funkce je na celym R.
y'-2xy = x^3
Spocita se nejdrive homogenni rovnice (y'-2xy = 0) a pak jedno partikularni reseni. Nevim o zadnem zadrhelu.
Snad jenom tam vyjde trochu horsi integral. Na ten se da substituce x^2 a pak jeste per partes.
Vycisleni by taky nemel byt problem.
Tak tady je substituceLessis píše: (2) urcete alespon jednu ZPF H k
h(x)=((sinx)^3)*(log(abs(sinx)))*cosx
na intervalu(-2pi,2pi). Na jakzch intervalech existuji ZPF?
sin(x) = t
-> (t^3)*log(abs(t))
Na to se hodi perpartes. Nakonci je problem s lepenim, musi se dopocitat limity, to jsem nezvladl, ale udajne lopitalem to bylo hned. Vysledna funkce je na celym R.
No tak tady je ten postup snad uplne standartni,Lessis píše: (3) Vyreste dif. rovnici
y'-(x^3)=2xy
a urcete alespon 1 maximalni reseni, ktere je polynomem.Kolik takovych reseni existuje?
y'-2xy = x^3
Spocita se nejdrive homogenni rovnice (y'-2xy = 0) a pak jedno partikularni reseni. Nevim o zadnem zadrhelu.
Snad jenom tam vyjde trochu horsi integral. Na ten se da substituce x^2 a pak jeste per partes.
Substituce logx (prevedou se meze na 0,inf), potom se jmenovatel standartni metodou upravi na ctverec a vyjde tam arctg neceho. Nak 1/2+sqrt(3) nebo tak neco.Lessis píše: (4) vypoctete urcity integr. na (1,nekonecno)
1/((logx)^2 - 3logx + 3)*x
Vycisleni by taky nemel byt problem.