Hladík 7.6.2012

Pokračování předmětu MAI057 - speciální matice, determinanty, vlastní čísla, základy lineárního programování, aplikace lineární algebry.
Abby
Matfyz(ák|ačka) level I
Příspěvky: 21
Registrován: 4. 9. 2011 12:57
Typ studia: Informatika Mgr.

Hladík 7.6.2012

Příspěvek od Abby »

1. Zformulujte a dokažte větu o Sylvestrově zákonu setrvačnosti. (8 b)

2. Mějme matici a vektor řádu n \ge 2.
a) Spočítejte det(A). (3 b)
b) Spočítejte první složku x1 řešení soustavy Ax = b. (3 b)
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & 2 \\ 2 & 2 & \ddots & \vdots \\  \vdots  & \ddots  & \ddots & 2 \\ 2 & \hdots & 2 & n \end{pmatrix} , b = \begin{pmatrix} n \\ n-1 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix}

3. Na prostoru R3 uvažujme skalární součin <x, y> := x1y1 + x2y2 - x2y3 - x3y2 + 2x3y3.
V tomto skalárním součinu:
a) Spočítejte projekci vektoru u = (1, 4, 1)T na podprostor V = span{(1, 1, 1)T, (3, 3, 1)T}. (3 b)
b) Najděte ortogonální doplněk V^\perp. (3 b)

4. Rozhodněte a zdůvodněte, která z následujících tvrzení jsou pravdivá:
a) Buď A \in R^{m\times n} a P matice projekce do S(A). Potom PA = A. (2 b)
b) Spektrální rozklad reálné symetrické matice je jednoznačný. (2 b)
c) Buď A \in R^{m\times n} positivně semidefinitní matice a \lambda_n její nejmenší vlastní číslo. Pak \lambda_n I_n - A je také positivně semidefinitní matice. (2 b)
d) Každá reálná matice lze rozložit na součin dolní trojúhelníkové a ortogonální (v tomto pořadí). (2 b)
Odpovědět

Zpět na „MAI058 Lineární algebra II“