Hladík 15.6.2010
Napsal: 15. 6. 2010 15:56
Oddělení B
1. Nad prostorem polynomů uvažujme kvadratickou formu
.
(a) Najděte matici form vzhledem ke kanonické bázi . (3 body)
(b) Rozhodněte zda pro všechny polynomy . (3 body)
2. Zformulujte a dokažte větu o Sylvestrově zákonu setrvačnosti. (8 bodů)
3. Buď
.
(a) Najděte positivně semidefinitní matici takovou, že . (5 bodů)
(b) Najděte matici , která není positivně semidefinitní, ale přitom . (1 bod)
4. Rozhodněte a zdůvodněte, které z následujících tvrzení jsou pravdivá:
(a) Je-li a pak . (2 body)
(b) Matice má vlastní čísla
(2 body)
(c) Buďte positivně definitní matice řádu . Pak je postitivně definitní matice. (2 body)
(d) Pro každou matici platí . (2 body)
Doplňující otázka:
Permutace, znaménko permutace, věta o složení cyklu a transpozice.
1. Nad prostorem polynomů uvažujme kvadratickou formu
.
(a) Najděte matici form vzhledem ke kanonické bázi . (3 body)
(b) Rozhodněte zda pro všechny polynomy . (3 body)
2. Zformulujte a dokažte větu o Sylvestrově zákonu setrvačnosti. (8 bodů)
3. Buď
.
(a) Najděte positivně semidefinitní matici takovou, že . (5 bodů)
(b) Najděte matici , která není positivně semidefinitní, ale přitom . (1 bod)
4. Rozhodněte a zdůvodněte, které z následujících tvrzení jsou pravdivá:
(a) Je-li a pak . (2 body)
(b) Matice má vlastní čísla
(2 body)
(c) Buďte positivně definitní matice řádu . Pak je postitivně definitní matice. (2 body)
(d) Pro každou matici platí . (2 body)
Doplňující otázka:
Permutace, znaménko permutace, věta o složení cyklu a transpozice.