Zkouška 29.-30.5.2007
Napsal: 31. 5. 2007 14:57
Zadání písemky:
1) Zobrazení f_a je definováno na prostoru c_0 posloupností x=(x_n) reálných čísel předpisem f_a(x)=\suma_{n=1}^\inf (-1)^n*x_n/a^n. (takže suma od jedné do nekonečna z xn/an*(-1)^n ) pro a>0.
Rozhodněte v závislosti na hodnotě a:
(a) Zda f_a je omezený lineární funkcionál
(b) Zda nabývá f_a své normy na jednotkové kouli prostoru c_0.
(8 bodů)
2) Zobrazení T je definováno pro f náleží C([0,1]) předpisem (Tf)(x)=xf(0) + (sin x)f(1), x náleží [0,1].
(a) Dokažte, že T je omezený lineární funkcionál reálného Banachova prostoru C([0,1]) do sebe.
(b) Rozhodněte o kompaktnosti operátoru T.
(c) Vyšetřete spektrum a bodové spektrum operátoru T.
(8 bodů)
3) Nechť K je kompaktní operátor Banachova prostoru X na NLP Y (nad R). Rozhodněte, zda nutně platí implikace a=>b , b=>c , c=>a, kde
a) Y je Banachův.
b) K(B_X) je okolí nuly.
c) dim Y < nekonečno.
Své závěry dokažte. Pokud se odvoláte na nějaké věty z přednášky, napište jejich znění a přesně vysvětlete, jak jste je použili. Pokud tvrdíte, že nějaká implikace obecně neplatí, uveďte příklad.
(8 bodů)
Hodnocení: Nutnou podmínkou pro hodnocení dobře je alespoň 12 bodů, atd. 15 pro velmi dobře a 18 pro výborně.
-----
Na písemku jsme měli dvě hodiny (změna), šla stihnout v pohodě. Doc. Holický tam s námi byl celou dobu. Na konci při sbírání nás nechal dopsat myšlenku.
1) Zobrazení f_a je definováno na prostoru c_0 posloupností x=(x_n) reálných čísel předpisem f_a(x)=\suma_{n=1}^\inf (-1)^n*x_n/a^n. (takže suma od jedné do nekonečna z xn/an*(-1)^n ) pro a>0.
Rozhodněte v závislosti na hodnotě a:
(a) Zda f_a je omezený lineární funkcionál
(b) Zda nabývá f_a své normy na jednotkové kouli prostoru c_0.
(8 bodů)
2) Zobrazení T je definováno pro f náleží C([0,1]) předpisem (Tf)(x)=xf(0) + (sin x)f(1), x náleží [0,1].
(a) Dokažte, že T je omezený lineární funkcionál reálného Banachova prostoru C([0,1]) do sebe.
(b) Rozhodněte o kompaktnosti operátoru T.
(c) Vyšetřete spektrum a bodové spektrum operátoru T.
(8 bodů)
3) Nechť K je kompaktní operátor Banachova prostoru X na NLP Y (nad R). Rozhodněte, zda nutně platí implikace a=>b , b=>c , c=>a, kde
a) Y je Banachův.
b) K(B_X) je okolí nuly.
c) dim Y < nekonečno.
Své závěry dokažte. Pokud se odvoláte na nějaké věty z přednášky, napište jejich znění a přesně vysvětlete, jak jste je použili. Pokud tvrdíte, že nějaká implikace obecně neplatí, uveďte příklad.
(8 bodů)
Hodnocení: Nutnou podmínkou pro hodnocení dobře je alespoň 12 bodů, atd. 15 pro velmi dobře a 18 pro výborně.
-----
Na písemku jsme měli dvě hodiny (změna), šla stihnout v pohodě. Doc. Holický tam s námi byl celou dobu. Na konci při sbírání nás nechal dopsat myšlenku.