Úloha "3 líce" - info + otázka

Prohloubení poznatků z bakalářského kursu Pravděpodobnost a statistika a jejich rozšíření o základy dalších disciplín teorie pravděpodobnosti, zejména o teorii a využití Markovových řetězců, teorii front, teorii spolehlivosti a teorii informace.
ToJeJedno

Úloha "3 líce" - info + otázka

Příspěvek od ToJeJedno »

Ahoj, jestli je někdo takový zoufalec co já, že se zasekne na prvním příkladu z Antochových slajdů dva dny (za předpokladu, že nechodil na cvičení), nabízím tento příklad vyřešený. Pro ty, kteří to považuí za trivialitu, prosím o kontrolu, kde jsem udělal chybu - vyšlo mi to jinak, než jak napovídá Antoch. Díky.

http://jelinek.kvalitne.cz/3lice.pdf

Hodně štěstí ke zkoušce. JJ.
Uživatelský avatar
strevlik
Matfyz(ák|ačka) level I
Příspěvky: 49
Registrován: 7. 3. 2006 10:56
Typ studia: Informatika Bc.
Kontaktovat uživatele:

Re: Úloha "3 líce" - info + otázka

Příspěvek od strevlik »

Tento post mne znervoznoval a tak jsme se to snazil spocitat. Velmi dobry navod je ve Fellerovi, str. 278, priklad (b). Vychazi to stejne jako Antochovi a i hrani s vyrazy, ktere je schovane za kroky v knizce, vychazi korektne. Doporucuju se tam kouknout (ostatne u PM by se tam clovek mel divat neustale).
seby
Matfyz(ák|ačka) level I
Příspěvky: 42
Registrován: 31. 1. 2008 15:40
Typ studia: Informatika Mgr.
Kontaktovat uživatele:

Re: Úloha "3 líce" - info + otázka

Příspěvek od seby »

ToJeJedno píše:Pro ty, kteří to považuí za trivialitu, prosím o kontrolu, kde jsem udělal chybu - vyšlo mi to jinak, než jak napovídá Antoch. Díky.
Triviální mi to nepřijde, ale chyba se podle mě stala při sestavování soustavy rovnic.

Z = líc
N = rub
p = pravděpodobnost hodu líce
\xi = padnou tři líce za sebou

q_n vyjadřuje pravděpodobnost, že první trojice líců padne až po n-tém kroku (tedy poslední z této trojice padne při hodu číslo >=n+1).
f_n vyjadřuje pravděpodobnost, že první trojice líců padne právě v n-tém kroku (tedy poslední z této trojice padne právě při hodu číslo n).
u_n vyjadřuje pravděpodobnost, že některá trojice líců padne právě v n-tém kroku. Je ovšem třeba mít na paměti, že se na tento případ aplikuje zapomínání, tedy v posloupnosti NNZZZZ se jev \xi vyskytne na pozici 5 (pozice se počítají od 1), ale na pozici 6 už ne.

Sestavované rovnice jsou založeny na tom, že víme, jakou pravděpodobnost má posloupnost ...ZZZ. Ta má totiž pravděpodobnost p^3 – pravděpodobnost, že na 3 pevně daných pozicích (ty poslední) padne líc a zbytek nás nezajímá. Zároveň však tuto pravděpodobnost umíme vyjádřit pomocí u_n, musíme však zohlednit zapomínání.

Na posledních třech pozicích se mohou objevit Z v těchto třech případech:
  • \xi nastal přímo na pozici n,
  • \xi nastal přímo na pozici n-1 a na pozici n je Z
  • \xi nastal přímo na pozici n-2 a na pozicích n-1 a n je Z
Z předchozího vyplývá, že
p^3 = u_n + pu_n + p^2u_{n-1}

Po použití této rovnice už by to mělo vyjít správně.
seby
Matfyz(ák|ačka) level I
Příspěvky: 42
Registrován: 31. 1. 2008 15:40
Typ studia: Informatika Mgr.
Kontaktovat uživatele:

Re: Úloha "3 líce" - info + otázka

Příspěvek od seby »

Ještě doplním, že od soustavy k U(x) vede i kapku jiná cesta (myslím, že se ji snažil Antoch naznačit na přednášce, ale v mých zápiscích nebyla úplná ani správně).
U soustavy si totiž můžeme všimnout, že sloupce tvoří řady, přičemž ty na pravé straně se jen trochu liší od U(x). Tedy soustavu
p^3x^3 = x^3u_3 + px^3u_2 + p^2x^3u_1
p^3x^4 = x^4u_4 + px^4u_3 + p^2x^4u_2
...

lze přepsat jako
\frac{p^3x^3}{1-x} = (U(x) - 1) + px(U(x) - 1) + p^2x^2(U(x) - 1)
z čehož snadno vyjádříme (U(x) - 1) a následně U(x). Výsledek pak bude shodný jako v PDF (až na znaménka - viz předchozí příspěvek).
Na levé straně je to jen součet geometrické řady a vpravo je třeba členy správně rozdělit. Ona jednička, která se od U(x) vždy odečítá je jednička, kterou představuje u_0. Hodnoty u_1 a u_2 jsou nulové, takže s nimi nemusíme počítat.
Odpovědět

Zpět na „MAI060 Pravděpodobnostní metody“