Ahoj, prosím o pomoc s těmito otázkami, v tomto předmětu úplně plavu a vůbec ho nepobíram snažím se neco vyčíst na netu ale je to marný, prosím odpověď alespoň na něco. vřelé díky..
Polynomy
1. Proč kořenový činitel dělí polynom beze zbytku.
2. Proč celočíselný kořen polynomu s celočíselnými koeficienty dělí a0.
3. Dokažte, že ke každému kořenu polynomu s reálnými koeficienty existuje kořen komplexně sdružený.
4. Proč ke každým dvěma polynomům p, q (q nenulový) je určen částečný podíl a zbytek jednoznačně?
5. Nechť má polynom an = 1 a má jen reálné nebo po dvou komplexně sdružené kořeny. Proč pak má všechny koeficienty reálné?
6. Proč polynom lichého stupně s reálnými koeficienty musí mít alespoň jeden reálný kořen?
7. Proč nemůže mít polynom stupně n více než n vzájmeně různých kořenů?
8. Proč je polynom stupně n určen jednoznačně svými hodnotami v n + 1 různých bodech?
Lineární prostor
9. Odvoďte z axiomů linearity (v definici lineárního prostoru) vlastnosti: a) x + o = x, b) αo = o pro x libovolný prvek lineárního prostoru, o nulový prvek a α∈ R.
10. Ověřte podrobně, že Rn s obvyklým +, · tvoří lineární prostor.
11. Ukažte, že množina nekonečných posloupností s + a · definovaným „po složkáchÿ tvoří LP.
12. Proč je množina všech posloupností s limitou=0 lineárním podprostorem LP všech posloupností?
13. Proč množina M = {(a, b, c, d), |a| = |b|, |c| = |d|} není podprostorem R4?
14. Zdůvodněte, proč průnik lineárních podprostorů je lineární podprostor a sjednocení lineárních pod-prostorů nemusí být lineární podprostor.
Lineární závislost, obal, báze
15. Zdůvodněte podrobně z axiomů linearity, proč triviální lineární kombinace je rovna nulovému vektoru.
16. Proč přítomnost nulového vektoru ve skupině vektorů zaručuje lineární závislost této skupiny?
17. Podrobně zdůvodněte, proč v lineárním prostoru reálných funkcí jsou funkce f, g, h dané vzorci
f(x) = sin x, g(x) = x^2 a h(x) = 1 jsou lineárně nezávislé.
18. Dokažte větu: vektory jsou lineárně závislé právě tehdy, když existuje jeden, který je lineární kombinací ostatních.
19. Předpokládejte konečnou neprázdnou lineárně závislou množinu vektorů M. Zdůvodněte, proč přidáním vektoru k množině M vznikne lineárně závislá množina.
20. Předpokládejte konečnou aspoň dvouprvkovou lineárně nezávislou množinu vektorů M. Zdůvodněte, proč odebráním vektoru z množiny M vznikne lineárně nezávislá množina.
21. Vysvětlete z definice lineární závislosti, proč lineární závislost není ovlivněna pořadím vektorů.
22. Vysvětlete z definice lineární závislosti, proč skupina vektorů, v níž se nějaký vektor opakuje, jelineárně závislá.
23. Definujte lineární obal i pro nekonečné množiny. Zdůvodněte, proč z ∈ <M> právě tehdy, když existuje konečně mnoho vektorů z M tak, že z je jejich lineární kombinací.
24. Dokažte <<M>> = <M> .
25. Proč je množina vektorů M lineárním podprostorem právě tehdy, když je <M> = M?
26. Proč je lineární obal jakékoli množiny podprostor?
27. Zdůvodněte, proč je lineární obal množiny M nejmenším podprostorem, který obsahuje M.
28. Předpokládejte N lineárně nezávislou množinu a z nenáleží <M>. Dokažte, že přidáním vektoru z k N zůstává tato množina lineárně nezávislá.
29. Popište postup, jakým lze (v lineárním prostoru s konečnou dimenzí) doplnit libovolnou lineárně nezávislou množinu N na bázi.
30. Zdůvodněte, proč lze z lineárně závislé množiny M odebrat vektor tak, že lineární obal zmenšené množiny je stejný jako lineární obal původní množiny M.
31. Zformulujte (bez důkazu) Steintzovu větu o výměně a vysvětlete její využití v důkaze tvrzení, že každé dvě báze stejného lineárního prostoru mají stejný počet prvků.
32. Proč lineárně nezávislá množina vektorů nesmí mít více prvků, než dimenze lineárního prostoru těchto vektorů?
33. V lineárním prostoru L uvažujte množinu M, která má více prvků, než dimL. Proč musí být M lineárně závislá?
34. Dokažte, že pokud má množina M stejně prvků, jako je dimL, pak je lineárně nezávislá právě tehdy, když <M> = L.
35. Zdůvodněte, proč množina {1, x, x^2, x^3, . . .} tvoří bázi lineárního prostoru všech polynomů.
36. Podrobně zdůvodněte, proč množina polynomů {x^2+1, x, x−1} tvoří bázi lineárního prostoru všech polynomů nejvýše druhého stupně.
Matice
37. Proč matice typu (m, n) tvoří lineární prostor? Jakou má tento prostor dimenzi?
38. Proč GEM nemění lineární obal řádků?
39. Jak GEM slouží k výpočtu hodnosti matice? Popište metodu a zdůvodněte, proč tato metoda skutečně počítá hodnost matice.
40. Popište metodu ověření lineární závislosti vektorů z Rn eliminací matice, ve které jsou tyto vektory zapsány po řádcích. Jak tato metoda souvisí s definicí lineární závislosti?
41. Definujte maticové násobení. Proč čtvercová matice A komutuje s A2?
42. Dokažte asociativitu maticového násobení.
43. Dokažte asociativitu maticového násobení a maticového násobku.
44. Zdůvodněte, proč maticové násobení nemusí být komutativní ani pro čtvercové matice.
45. Proč má horní trojúhelníková matice linárně nezávislé řádky?
46. Zdůvodněte, proč matice komutující s pevně danou maticí tvoří lineární podprostor.
47. Proč je součin regulárních matic regulární?
48. Čím je zaručena jednoznačnost inverzní matice?
49. Popište metodu výpočtu inverzní matice eliminací a zdůvodněte, proč tato metoda skutečně dává inverzní matici.
50. Vynásobíme-li matici A regulární maticí, pak se matice A může změnit, ale nezmění se její hodnost. Proč?
51. Co víme o hodnosti součinu matic, když známe hodnosti jednotlivých činitelů? Zdůvodněte.
Determinant
52. Definice determinantu.
53. Zdůvodněte z definice základní vlastnosti determinantu.
54. Proč přičtení násobku řádku k jinému nezmění hodnotu determiantu?
55. Formulujte (bez důkazu) větu o rozvoji determinatu podle řádku/sloupce.
56. Z věty o determinantu součinu odvoďte vzorec pro determinant inverzní matice.
57. Zformulujte a dokažte větu na výpočet inverzní matice pomocí doplňků.
Soustavy lineárních rovnic
58. Frobeniova věta, přesná formulace, význam, důkaz.
59. Definice pojmu řešení soustavy lineárních rovnic.
60. Proč množina řešení homogenní soustavy lineárních rovnic tvoří lineární podprostor?
61. Nechť v je jedno řešení soustavy lineárních rovnic. Proč všechna ostatní řešení této soustavy jsou ve tvaru součtu v + u, kde u je nějaké řešení homogenní soustavy přidružené k dané soustavě?
62. Zformulujte a dokažte Cramerovu větu.
63. Nechť M = v+<u1, . . . ,uk> , M′=v' + <u′1, . . . ,u′k> . Navrhněte a zdůvodněte postup, podle kterého poznáte, že M = M′.
64. Jakou dimenzi má prostor řešení homogenní soustavy lineárních rovnic a proč?
Konečná dimenze
65. Definujte pojem souřadnice vzhledem k uspořádané bázi. Zdůvodněte existenci a jednoznačnost souřadnic.
66. Proč jsou souřadnice polynomu vzhledem ke standardní bázi lin. prostoru polynomů nejvýše n-tého stupně rovny koeficientům tohoto polynomu?
67. Proč jsou souřadnice vektoru z Rn vzhledem ke standardní bázi rovny složkám tohoto vektoru?
68. Proč je zobrazení, které vektorům přiřadí uspořádanou n-tici jejich souřadnic vzhledem k pevně zvolené bázi, lineární?
69. Definujte spojení dvou podprostorů. Čemu je rovnen součet dimenzí spojení a průniku dvou podprostorů?
Linearní algebra - pomoc s otázkami
Základy lineární algebry (vektorové prostory, lineární zobrazení, řešení soustav lineárních rovnic, matice).
-
- Supermatfyz(ák|ačka)
- Příspěvky: 403
- Registrován: 11. 11. 2006 14:10
- Typ studia: Informatika Mgr.
- Bydliště: Praha
- Kontaktovat uživatele:
-
- Matfyz(ák|ačka) level I
- Příspěvky: 35
- Registrován: 10. 9. 2009 21:03
- Typ studia: Informatika Mgr.
Re: Linearní algebra - pomoc s otázkami
Příspěvek od Tommassino »
mohl bys mi rict, z ceho sou ty otazky? jen by me to zajimalo...
Zpět na „MAI057 Lineární algebra I“
Přejít na
- Aktuální informace
- ↳ Studijní oddělení
- ↳ Knihovna
- ↳ Studentská komora Akademického senátu (SKAS)
- ↳ Volby na ak. rok 2013/2014
- Všichni
- ↳ Práce
- ↳ Klubovna
- ↳ Toto fórum
- ↳ Státní závěrečná zkouška
- ↳ Bakalářské SZZ
- ↳ Magisterské SZZ
- ↳ Info for foreign students
- ↳ Akce
- ↳ Fotbalový turnaj 2008
- Informatika ZS
- ↳ Výuka ZS 1. ročník
- ↳ DMI002 Diskrétní matematika
- ↳ 2007
- ↳ 2006
- ↳ 2005
- ↳ 2004
- ↳ MAI054 Matematická analýza I
- ↳ 2007
- ↳ 2006
- ↳ 2005
- ↳ 2004
- ↳ MAI057 Lineární algebra I
- ↳ 2006
- ↳ 2005
- ↳ 2004
- ↳ PRG030 Programování I
- ↳ 2006
- ↳ 2005
- ↳ 2004
- ↳ SWI120 Principy počítačů a operačních systémů
- ↳ SWI087 Principy počítačů
- ↳ Ostatní
- ↳ DMI051 Úvod do řešení problémů kombinatorických, mat. i jiných (IPS) II
- ↳ Výuka ZS 2. ročník
- ↳ MAI056 Matematická analýza III
- ↳ 2006
- ↳ 2005
- ↳ 2004
- ↳ OFY016 Fyzika pro nefyziky I - Svět kolem nás
- ↳ SWI089 Ochrana informace I
- ↳ SWI096 Internet
- ↳ TIN061 Algoritmy a datové struktury II
- ↳ 2006
- ↳ 2005
- ↳ 2004
- ↳ Ostatní
- ↳ Aplikační software
- ↳ NPRG035 Jazyk C# a platforma .NET
- ↳ NPRG041 Programování v C++
- ↳ AIL062 Výroková a predikátová logika
- ↳ 2007
- ↳ 2006
- ↳ 2005
- ↳ PGR013 Java
- ↳ MAI059 Pravděpodobnost a statistika
- ↳ Výuka ZS 3. ročník
- ↳ SWI099 Administrace Systemu Windows
- ↳ SWI015 Programování v Unixu
- ↳ SWI098 Principy překladačů
- ↳ 2006
- ↳ Ostatní
- ↳ DBI007 Organizace a zpracování dat I
- ↳ 2006
- ↳ MAI062 Algebra I
- ↳ PGR003 Počítačová grafika I
- ↳ SWI090 Počítačové sítě I
- ↳ Výuka ZS NMgr.
- ↳ TIN066 Datové struktury I
- ↳ TIN062 Složitost I
- ↳ TIN064 Vyčíslitelnost I
- ↳ MAI060 Pravděpodobnostní metody
- ↳ SWI004 Operační systémy
- ↳ SWI106 Administrace Unixu
- ↳ Ostatní
- ↳ NTIN090 Základy složitosti a vyčíslitelnosti
- ↳ OPT042 Programování s omezujícími podmínkami
- ↳ AIL002 Neuronové sítě
- ↳ AIL025 Evoluční algoritmy I
- ↳ AIL069 Umělá inteligence I
- ↳ NDBI001 Dotazovací jazyky I
- ↳ TIN070 Testování software
- ↳ NDBI027 Datové sklady a analytické metody pro Business Intelligence
- ↳ NDBI034 Vyhledávání multimediálního obsahu na webu
- ↳ NPRG023 Softwarový projekt
- Informatika LS
- ↳ Výuka LS 1. ročník
- ↳ MAI055 Matematická analýza II
- ↳ 2006
- ↳ 2005
- ↳ 2004
- ↳ MAI058 Lineární algebra II
- ↳ 2006
- ↳ 2005
- ↳ 2004
- ↳ PRG031 Programování II
- ↳ 2006
- ↳ 2005
- ↳ 2004
- ↳ TIN060 Algoritmy a datové struktury I
- ↳ 2006
- ↳ 2005
- ↳ 2004
- ↳ SWI095 Úvod do UNIXu
- ↳ 2006
- ↳ 2005
- ↳ 2004
- ↳ Ostatní
- ↳ Výuka LS 2. ročník
- ↳ SWI071 Ochrana informace II
- ↳ TIN071 Automaty a gramatiky
- ↳ PRG033 Ročníkový projekt - specifikace
- ↳ DMI011 Kombinatorika a grafy I
- ↳ DBI025 Databázové systémy
- ↳ Ostatní
- ↳ SWI036 Programování pro Windows I & II
- ↳ SWI096 Internet
- ↳ PRG005 Neprocedurální programování
- ↳ 2006
- ↳ 2005
- ↳ 2004
- ↳ NSWI143 Architektura počítačů
- ↳ Výuka LS 3. ročník
- ↳ Ostatní
- ↳ PGR004 Počítačová grafika II
- ↳ PRG036 Technologie XML
- ↳ SZZ026 Bakalářská práce
- ↳ PRG003 Metodika programování a filozofie programovacích jazyků
- ↳ MAI064 Matematické struktury
- ↳ MAI042 Numerická matematika
- ↳ SWI021 Počítačové sítě II
- ↳ SWI045 Rodina protokolů TCP/IP
- ↳ NPRG038 Pokročilé programování pro .NET
- ↳ Výuka LS NMgr.
- ↳ SWI109 Konstrukce překladačů
- ↳ NPRG042 Programování v paralelním prostředí
- ↳ SWI117 Technologie vývoje webových aplikací
- ↳ SWI026 Softwarové inženýrství
- ↳ MAI061 Metody matematické statistiky
- ↳ I1 Ostatní Teoretická informatika
- ↳ I2 Ostatní Softwarové systémy
- ↳ I3 Ostatní Matematická lingvistika
- ↳ I4 Ostatní Diskrétní modely a algoritmy
- ↳ AIL026 Evoluční algoritmy II
- ↳ AIL070 Umělá inteligence II
- ↳ NDBI010 Dokumentografické informační systémy
- ↳ NDBI023 Dobývání znalostí
- ↳ NDBI016 Transakce
- ↳ NDBI006 Dotazovací jazyky II
- ↳ NAIL029 Strojové učení
- Matematika
- ↳ Výuka LS 1. ročník
- ↳ Lineární algebra 2
- ↳ Programování 2
- ↳ Matematická analýza 1b
- ↳ Volitelné předměty
- ↳ Výuka LS 2. ročník
- ↳ Pravděpodobnost a statistika
- ↳ Teorie Míry a integrálu II
- ↳ Algebra II
- ↳ Matematická analýza 2b
- ↳ Ostatní
- ↳ Výuka LS 3. ročník
- ↳ Předměty numeriky
- ↳ Úvod do funcionální analýzy
- ↳ Funkcionální analýza I
- ↳ Vybrané partie z funkcionální analýzy
- ↳ Náhodné procesy 2
- ↳ Matematická statistika 2
- ↳ Teorie pravděpodobnosti 2
- ↳ Matematická ekonomie
- ↳ Ostatní
- ↳ LS - Předměty MMIB a pokročilé Algebry
- ↳ Všeobecná diskuse
- ↳ Počítačová algebra
- ↳ Teorie čísel a RSA
- ↳ Aplikovaná kryptografie II
- ↳ Standardy v kryptografii
- ↳ Kryptoanalytické útoky
- ↳ Aplikace bezpečnostních mechanismů
- ↳ Kvantové a DNA počítače
- ↳ Faktorizace velkých čísel
- ↳ Algebraická geometrie v kladné charakteristice
- ↳ Výuka ZS 1. ročník
- ↳ MAA001 Matematická analýza 1a
- ↳ PRM044 Programování I
- ↳ MAA079 Proseminář z kalkulu 1a
- ↳ DMA005 Diskrétní matematika
- ↳ ALG001 Lineární algebra a geometrie I
- ↳ Ostatní
- ↳ Volitelné předměty
- ↳ Výuka ZS 2. ročník
- ↳ MIB
- ↳ Matematická analýza 2a
- ↳ Teorie míry a integrálu
- ↳ Numerika
- ↳ Algebra
- ↳ Předměty finanční matematiky
- ↳ Ostatní
- ↳ Výuka ZS 3. ročník
- ↳ Matematická statistika
- ↳ Teorie pravděpodobnosti
- ↳ Náhodné procesy
- ↳ Optimalizace
- ↳ Předměty numeriky
- ↳ Předměty finanční matematiky
- ↳ Komplexní analýza
- ↳ Funcionální analýza
- ↳ Ostatní
- ↳ ZS - předměty MMIB a pokročilé Algebry
- ↳ Úvod do algebry
- ↳ Složitost pro kryptografii
- ↳ Samoopravné kódy
- ↳ Teoretická kryptografie
- ↳ Aplikovaná kryptografie I
- ↳ Datové a procesní modely
- ↳ Eliptické křivky
- ↳ Členění kryptografických standardů
- ↳ Kryptografické protokoly
- ↳ Úvod do teorie grup
- ↳ Právní aspekty zabezpečení dat
- ↳ Komutativní okruhy
- Fyzika ZS
- ↳ Výuka ZS 1. ročník
- ↳ OFY067 Fyzika v experimentech I
- ↳ MAF027 Lineární algebra I
- ↳ OFY021 Fyzika I (mechanika a molekulová fyzika)
- ↳ OFY056 Programování pro fyziky
- ↳ MAF033 Matematická analýza I
- Oborový mix aktuální
- ↳ Anglický jazyk
- ↳ Tělesná výchova
- ↳ Granty GAUK
- Odkazy
- ↳ Wiki
- ↳ SKAS
- ↳ Spolek Matfyzák
- Matematika Archiv
- ↳ Výuka LS 2006/2007 3. ročník
- ↳ Předměty numeriky
- ↳ Úvod do funcionální analýzy
- ↳ Náhodné procesy 2
- ↳ Matematická statistika 2
- ↳ Teorie pravděpodobnosti 2
- ↳ Matematická ekonomie
- ↳ Výuka LS 2006/2007 2. ročník
- ↳ Pravděpodobnost a statistika
- ↳ Teorie Míry a integrálu II
- ↳ Angličtina
- ↳ Algebra II
- ↳ Matematická analýza 2b
- ↳ Ostatní
- ↳ Výuka LS 2006/2007 1. ročník
- ↳ Volitelné předměty
- ↳ Lineární algebra 2
- ↳ Programování 2
- ↳ Matematická analýza 1b
- Zrušené předměty
- ↳ SWI087 Principy počítačů
- ↳ SWI120 Principy počítačů a operačních systémů
- ↳ 2006
- ↳ 2005
- ↳ 2004
- ↳ PRG029 Programování v C++
- ↳ 2006
- ↳ 2005
- ↳ 2004
- ↳ PRG032 Objektově orientované programování
- ↳ 2006
- ↳ 2005
- ↳ 2004
- ↳ SWI097 Základy operačních systémů
- ↳ NDBI003 Organizace a zpracování dat II
- Roztřídit (resty)
- ↳ Výuka ZS 2005/06 2. ročník
- ↳ Předměty informační bezpečnosti
- ↳ Předměty finanční matematiky
- ↳ Teorie míry a integrálu
- ↳ Numerika
- ↳ Algebra
- ↳ Analýza/kalkulus
- ↳ Matematika obecně
- ↳ Výuka LS 2005/06 2.ročník
- ↳ Základy matematického modelování
- ↳ Finanční management
- ↳ Úvod do optimalizace
- ↳ Numerika
- ↳ Kalkulus
- ↳ Angličtina
- ↳ Diferenciální geometrie
- ↳ Pravděpodobnost a statistika
- ↳ Teorie míry a integrálu II
- ↳ Algebra II
- ↳ Analýza 2b