8.1.2019 2. zápočtový test Honzík

Základní kurz matematické analýzy pro druhý ročník oboru informatika, zahrnující základy diferenciálního počtu funkcí více proměnných (parciální derivace, diferenciál, věta o implicitních funkcích, extrémy, Lagrangeovy multiplikátory), diferenciální rovnice, vícerozměrný integrál.
Uživatelský avatar
awk
Matfyz(ák|ačka) level II
Příspěvky: 56
Registrován: 21. 5. 2018 18:54
Typ studia: Informatika Bc.

8.1.2019 2. zápočtový test Honzík

Příspěvek od awk »

Dnešní test:
Původně bylo na vypracování 45 min, čas byl však mírně navýšen.
  1. Najděte všechny póly a rezidua funkce
    f(z) = \frac{1}{(z^2+i)^2}
    a spočtěte \int_\varphi f(z)\, dz, kde \varphi = i + e^{it} pro t \in [0,2\pi]
    (10 bodů)
  2. Pomocí integrace vhodné kontury spočtěte
    \int_{-\infty}^\infty \frac{\cos x}{(1+x^2)^2}\, dx
    (10 bodů)
  3. Najděte Fourierovu řadu (v reálném tvaru) funkce
    f(x) = \cos \frac{x}{2}, \quad x \in [-\pi, +\pi]
    (10 bodů)
  4. Najděte Fourierovu řadu (v reálném tvaru) funkce
    f(x) = \mathrm{e}^{|x|}, \quad x \in [-\pi, +\pi]
    (10 bodů)

Jak bude vypadat písemná zkouška?
Zkouška se bude skládat ze 4 početních příkladů, na jejichž řešení bude 1h a 30 minut. Může se objevit libovolná kombinace z následujících:
  • Elementární funkce (viz příklad 1, 2 v 1. zápočtovém testu http://forum.matfyz.info/viewtopic.php?f=170&t=11832)
  • C-R podmínky (zjistěte zda f má derivaci, máme reálnou část funkce, doplňte imaginární,...)
  • Mocninné řady (vyjádření f řadou, ať už pomocí derivování nebo převedením na nějakou známou řadu)
  • Vyšetření řady (poloměr konvergence, spočítat derivace)
  • Reziduová věta (dostaneme křivku, najdeme póly a máme určit, které leží vně a uvnitř křivky)
  • Konturová integrace \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{P(x)}, \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin x}{P(x)}, \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos x}{P(x)}, kde P(x) je libovolný polynom
  • Integrál z definice \int_\varphi f(z)\, dz (pomocí parametrizace, popř. Cauchyho vzorcem pro kruh)
  • Fourierovy řady pouze příklady na výpočet Fourierovy řady v reálném tvaru (znát vzorce a umět per partes)
Odpovědět

Zpět na „MAI056 Matematická analýza III “