1. Definujte ideál na okruhu R. Koľko prvkov má okruh ? Ide o teleso?
2. Nájdite všetky také, že (kde je Eulerova funkcia).
3. Nájdite všetky generátory multiplikatívnej grupy telesa , teda .
4. Dokážte, že všetky ideály v okruhu , kde je komutatívne teleso, sú hlavné.
5. Spočítajte 2 posledné cifry .
6. Uvažujme aditívnu grupu racionálnych čísel . Overte, že pre prvočíslo je množina jej podgrupou. Ďalej dokážte, že okrem zobrazenia , ktoré priraďuje nulu každému racionálnemu číslu, neexistuje iný grupový homomorfizmus z do .
7. Koľko obsahuje symetrická grupa prvkov rádu 6?
Šaroch 23.1.2020
- SaNuel
- Matfyz(ák|ačka) level I
- Příspěvky: 8
- Registrován: 11. 10. 2018 14:52
- Typ studia: Informatika Bc.
- Login do SIS: novelins
Šaroch 23.1.2020
Naposledy upravil(a) SaNuel dne 26. 1. 2020 19:48, celkem upraveno 2 x.
Kód: Vybrat vše
if ( exam.date > critical_date ) {
this.procrastination.enable();
Steam.launch("Skyrim");
}
else {
this.panic.start();
// TODO: This isn't working...
}
- SaNuel
- Matfyz(ák|ačka) level I
- Příspěvky: 8
- Registrován: 11. 10. 2018 14:52
- Typ studia: Informatika Bc.
- Login do SIS: novelins
Re: Šaroch 23.1.2020
1. (?) 125; nejde o teleso, lebo napr. daný polynóm nie je ireducibilný.
2. Skúšaním 19,38,27,54 - tu trik, že ak fí(n) je nepárne číslo, tak jeho dvojnásobok má rovnaké fí, keďže *2 -> *(2-1)*2^0.
3. Skúšaním je 2 jeden z generátorov, následne existuje prirodzený homomorfizmus medzi Z13* a Z12+, teda stačí dosadiť 1 v Z12+ -> 2 v Z13* (1 triviálny generátor aditívnej grupy), potom nájsť generátory Z12+ (GCD(a,12) = 1), teda 1,5,7,11 a tie cez homomorfizmus vyrátať v Z13*, teda 2^1,2^5,2^7,2^11 (mod 13), čo je 2,6,11,7.
4. ?
5. skrz eulerovu vetu ... 7
6. Na overenie dokázať uzavretosť na +, neutr. prvok, inverzy prvkov. Druhá časť sporom (?).
7. Permutácia má rád veľkosti rovnej LCM veľkostí jej cyklov. (eg. (123)(4567)(89) má rád veľkosti LCM(3,4,2) = 12), teda rád 6 majú permutácie s cyklami veľkosti 6 (nie sú v S5) a veľkosti 3 a 2. Počet takých cyklov je potom , resp. prvky_v_trojcykle * usporiadanie_vrámci_cyklu / rotácie_v_cykle ( (123) = (312) = (231) ).
Za správnosť neručím, no postup by mohol viac-menej sedieť. Keby dačo, nech ma nejaká dobrá duša opraví, prinajlepšom doplní uspokojivé odpovede za otázničky. Zdar!
2. Skúšaním 19,38,27,54 - tu trik, že ak fí(n) je nepárne číslo, tak jeho dvojnásobok má rovnaké fí, keďže *2 -> *(2-1)*2^0.
3. Skúšaním je 2 jeden z generátorov, následne existuje prirodzený homomorfizmus medzi Z13* a Z12+, teda stačí dosadiť 1 v Z12+ -> 2 v Z13* (1 triviálny generátor aditívnej grupy), potom nájsť generátory Z12+ (GCD(a,12) = 1), teda 1,5,7,11 a tie cez homomorfizmus vyrátať v Z13*, teda 2^1,2^5,2^7,2^11 (mod 13), čo je 2,6,11,7.
4. ?
5. skrz eulerovu vetu ... 7
6. Na overenie dokázať uzavretosť na +, neutr. prvok, inverzy prvkov. Druhá časť sporom (?).
7. Permutácia má rád veľkosti rovnej LCM veľkostí jej cyklov. (eg. (123)(4567)(89) má rád veľkosti LCM(3,4,2) = 12), teda rád 6 majú permutácie s cyklami veľkosti 6 (nie sú v S5) a veľkosti 3 a 2. Počet takých cyklov je potom , resp. prvky_v_trojcykle * usporiadanie_vrámci_cyklu / rotácie_v_cykle ( (123) = (312) = (231) ).
Za správnosť neručím, no postup by mohol viac-menej sedieť. Keby dačo, nech ma nejaká dobrá duša opraví, prinajlepšom doplní uspokojivé odpovede za otázničky. Zdar!
Kód: Vybrat vše
if ( exam.date > critical_date ) {
this.procrastination.enable();
Steam.launch("Skyrim");
}
else {
this.panic.start();
// TODO: This isn't working...
}
-
- Matfyz(ák|ačka) level I
- Příspěvky: 6
- Registrován: 17. 1. 2019 16:10
- Typ studia: Informatika Bc.
- Login do SIS: volhejnv
Re: Šaroch 23.1.2020
Doplním:
2. Abychom zdůvodnili, že jiná řešení neexistují, můžeme provést rozbor případů, kdy si zapíšeme a uvážíme, že může být součin nějakých mocnin prvočísla, takže by se mohlo stát třeba , takže by stačilo najít dvě nesoudělná čísla s , . Ukáže se ale, že taková neexistují ( ani nenastane).
4. viz skripta, Důsledek 10.3
5. Wolfram souhlasí
6. jsou zlomky, jejichž jmenovatel není násobek p. Jaká je hodnota ? Protože je homomorfismus, platí pro identita (trochu neformálně, protože násobení "nemám"). Proto pro každé platí . Když zvolíme dostatečně velké k, je pravá strana zlomek, jehož jmenovatel je násobek p. Aby tohle neznamenalo spor, musí platit . Z toho už snadno plyne, že všechny zlomky, jejichž jmenovatel je násobek p, se musí také zobrazit na 0.
Nyní vezmeme , kde jmenovatel b není násobek p. Jmenovatel pravé strany je tedy opět násobek p, takže .
7. Souhlas.
2. Abychom zdůvodnili, že jiná řešení neexistují, můžeme provést rozbor případů, kdy si zapíšeme a uvážíme, že může být součin nějakých mocnin prvočísla, takže by se mohlo stát třeba , takže by stačilo najít dvě nesoudělná čísla s , . Ukáže se ale, že taková neexistují ( ani nenastane).
4. viz skripta, Důsledek 10.3
5. Wolfram souhlasí
6. jsou zlomky, jejichž jmenovatel není násobek p. Jaká je hodnota ? Protože je homomorfismus, platí pro identita (trochu neformálně, protože násobení "nemám"). Proto pro každé platí . Když zvolíme dostatečně velké k, je pravá strana zlomek, jehož jmenovatel je násobek p. Aby tohle neznamenalo spor, musí platit . Z toho už snadno plyne, že všechny zlomky, jejichž jmenovatel je násobek p, se musí také zobrazit na 0.
Nyní vezmeme , kde jmenovatel b není násobek p. Jmenovatel pravé strany je tedy opět násobek p, takže .
7. Souhlas.