Skúška Šaroch 13.1.2020

První část základního kursu algebry je věnována základním algebraickým pojmům a strukturám. Míní se tím zejména pojmy uzávěrový systém, operace, algebra, homomorfismus, kongruence, uspořádání, dělitelnost, a struktury jako svazy, monoidy, grupy, okruhy a tělesa. V kursu se též věnuje pozornost modulární aritmetice a konstrukci konečných těles.
hunter2

Skúška Šaroch 13.1.2020

Příspěvek od hunter2 »

Skúška je vo forme testu, čas 80 minút. Keďže na predchádzajúcom termíne nebola žiadna jednotka, Šaroch povedal, že sa snažil dať tento test ľahší.

1. Definujte pojem kongruencie na algebre. Pre symetrickú grupu S4 označíme H jej podgrupu generovanú permutáciou (1 2 3). Zistite, či je rmod H kongruencia grupy S4 (so skladaním).
2. Dokážte, že zobrazenie f: C -> R, f(z) = |z| pre grupy C a R s násobením je homomorfizmus. Určite Ker f a Im f.
3. Nájdite počet generátorov multiplikatívnej grupy Z17, teda grupy Z17*.
4. Sformulujte a dokážte vetu o homomorfizme.
5. Nájdite rád matice A (2x2, nepamätám si presne, ako vyzerala, ale boli tam jednotky, mínus jednotky a nuly) ako prvku grupy GL(Q).
6. Čínsky cisár mal 1200 vojakov. Po bitke chcel zistiť, koľko ich ostalo, tak ich nechal nastúpiť do radov po 5, 6, 7 a 11, pričom mu vždy ostal nejaký počet vojakov. Zistite, koľko vojakov prežilo.

Orientačné riešenia:
1. Nie je to kongruencia, buď môžete nájsť nejaký protipríklad, alebo použijete to, že by podgrupa musela byť normálna, čo nie je.
2. Homomorfizmus sa overí ľahko, Im sú nezáporné reálne čísla a Ker je jednotková kružnica - pozor na to, že neutrálny prvok je 1.
3. Z17* je izomorfná s aditívnou grupou Z16, stačí nájsť jeden generátor Z17* a zobraziť ho na 1, potom ostatné generátory Z17* dostanete z tohto izomorfizmu.
5. Stačí maticu násobiť dovtedy, kým vám nevyjde jednotková matica (prípadne overiť, či je zadaná matica naozaj regulárna).
6. Použijete ČVZ a nájdete x mod 5*6*7*11. Pozor na to, že môže vyjsť viac riešení.
AzureDiamond

Re: Skúška Šaroch 13.1.2020

Příspěvek od AzureDiamond »

Zkouska je jen techto sest otazek? V sylabu predmetu se pise, ze "V testu je třeba stručně zodpovědět 10 otázek na znění definic a vět, znalost základních příkladů a aplikace teorie, vyřešit 4 snadné početní úlohy a dokázat dvě tvrzení, z nichž jedno bude vybráno z důležitějších tvrzení dokazovaných na přednášce, druhé bude elementární tvrzení využívající zavedené pojmy." a 80 minut mi na 16 otazek prijde opravdu malo.
borek
Matfyz(ák|ačka) level I
Příspěvky: 5
Registrován: 1. 2. 2020 12:33
Typ studia: Informatika Bc.

Re: Skúška Šaroch 13.1.2020

Příspěvek od borek »

Já doplním sedmou bonusovou otázku:
7) (bonus) Ukázat, že když má člověk těleso $\mathbb{R}$, $\mathbb{R}* je jeho grupa invertibilních prvků, která má lichý počet prvků, pak pro všechna $r \in \mathbb{R}$ platí $ r = -r $

Ano, zkouška je opravdu "jen" těchto sedm příkladů, stejně se stíhá opravdu těžko. Popis zkoušky v SISu zůstal asi z dřívějších let.
Odpovědět

Zpět na „MAI062 Algebra I“