Fórum studentů MFF UK

1) Urcete, zda mnozina T=R s nize definovanymi operacemi [b]+[/b] [b]x[/b] je telesem:
a [b]+[/b] b = a+b+1
a [b]x[/b] b = 2ab + a + b

odpoved: NE

2) Jsou vektory (1,2,0)T, (0,1,2)T a (2,0,1)T linearne zavisle ve vektorovem prostoru Z3^3 nad telesem Z3? Najdete vsechna prvocisla p, p >= 3 pro ktera jsou tyto vektory linearne zavisle ve veektorovem prostoru Zp^3 nad telesem Zp.

Jsou LZ, zadna dalsi p krom 3 nejsou

3) Definujte isomorfismus vektorovych prostoru U a V. Dokazte, ze vektorovy prostor dimenze 10 nad telesem R je isomorfni prostoru R^10 a neni isomorfni vektorovemu prostoru R^9.

4) Ano/ne + zduvodnit:
a) Pro vsechny matice A,B plati nasledujici implikace AB = In => BA = In
NE
b)Je-li A ctvercova matice se vsemi prvky pod hlavni diagonalou rovnymi nule, pak radkovy prostor A je roven sloupcovemu prostoru A.
NE
c) Je-li V vektorovy prostor dimenze n, pak libovolnych n linearne nezavislych vektoru tvori bazi V.
ANO
d) Soustava Ax=b ma reseni prave tehdy, kdyz hodnost A je rovna hodnosti (A|b) (kde (A|b) znaci matici A, ke ktere je pridan jako dalsi sloupec vektor b).
ANO. U tohohle stacilo zduvodneni: Je to Frobeniova veta.

Bodovani: 1,2,3 po sesti 4) a,b,c,d - kazde po 2
Jo a prekontrolujte si soucet bodu - ja i kamos jsme tam meli chybu(k horsimu). On si toho vsimnul vcas, ja ne...

Jo, ještě body. Tak první tři byli po 6 bodech každý a ve čtvrtém příkladě po 2 bodech za každé tvrzení.

Skupina B:
1) Urči, zda množina T=R s níže definovanými operacemi + a x je tělesem"

a + b = a+b+1/2
a x b = a+b+2ab

(pokud myslite že ano, napřed určete, které prvky odpovídají 0 a 1 v tělese)

2) Najděte bázi a určete dimenzi vektorového prostoru všech symetrických matic typu 3x3 (A je symetrická, pokud AT = A) a pokud budete umět, i typu nxn

3) Definujte matici lineárního zobrazení k daným bázím. Přesně zformulujte a dokažte tvrzení o tom, jak souvisí skládání lineárních zobrazení s násobením jejich matic.

4) Které z následujících výroků jsou správné? Zdůvodněte

(a) Je-li řádkový prostor matice A roven sloupcovému prostoru matice A, pak A = AT

(b) Nechť U podm. R3 je lin. obal vektoru (1,2,3)T (přesněji, je to lin. obal jednoprvkové množiny {(1,2,3)T})a V podm. R3 je lineární obal (3,2,1)T. Pak U u V je podprostor R3

(c) Je-li V vektorový prostor dimenze n, pak libovolná soustava generátorů obsahujících n vektorů tvoří bázi V.
//tady v zadání chybělo, že soustava generátorů je z V

(d) Je-li hodnost A rovna hodnosti (Ab), pak soustava Ax=b má právě jedno řešení (kde (Ab) značí rozšířenou matici soustavy).