od dzasko » 21. 12. 2007 11:16
1) Nechť G je konečná komutativní grupa řádu n>1, n=pkn', p je prvočíslo, p nedělí n'. Dokažte, že pro každé l<=k má G podgrupu řádu pl.
7 bodů
2) Nechť G=Sn je symetrická grupa {1,...,n} n>=3. Dokažte, že Z(G)={id} (centrum grupy G je pouze identická permutace).
7 bodů
3) Nechť G je grupa a H její podgrupa. Na levých rozkladových třídách G podle H definujeme operaci * vztahem L1 * L2 = L3pro L1=g1H a L2=g2H a L3=(g1°g2)H, kde ° je binární grupová operace (ve skriptech značeno kolečkem s tečkou uprostřed).
Dokažte, že * je korektně definovaná operace právě když H je normální podgrupou v G.
5 bodů
4) Nechť F a F' jsou ekvivalentní reprezentace grupy G stupně n nad K. Dokažte, že charaktery těchto reprezentací jsou si rovny.
5 bodů
5) Nechť R je komutativní okruh a P je prvoideál v R. Dokažte, že existuje izomorfismus částečně uspořádané množiny prvoideálů lokalizace R(P) na částečně uspořádanou množinu prvoideálů R obsažených v P.
8 bodů
Hodnocení:
>=11 .... 3
>=17 .... 2
>=23 .... 1
1) Nechť G je konečná komutativní grupa řádu n>1, n=p[sup]k[/sup]n', p je prvočíslo, p nedělí n'. Dokažte, že pro každé l<=k má G podgrupu řádu p[sup]l[/sup].
7 bodů
2) Nechť G=S[sub]n[/sub] je symetrická grupa {1,...,n} n>=3. Dokažte, že Z(G)={id} (centrum grupy G je pouze identická permutace).
7 bodů
3) Nechť G je grupa a H její podgrupa. Na levých rozkladových třídách G podle H definujeme operaci * vztahem L[sub]1[/sub] * L[sub]2[/sub] = L[sub]3[/sub]pro L1=g[sub]1[/sub]H a L2=g[sub]2[/sub]H a L3=(g[sub]1[/sub]°g[sub]2[/sub])H, kde ° je binární grupová operace (ve skriptech značeno kolečkem s tečkou uprostřed).
Dokažte, že * je korektně definovaná operace právě když H je normální podgrupou v G.
5 bodů
4) Nechť F a F' jsou ekvivalentní reprezentace grupy G stupně n nad K. Dokažte, že charaktery těchto reprezentací jsou si rovny.
5 bodů
5) Nechť R je komutativní okruh a P je prvoideál v R. Dokažte, že existuje izomorfismus částečně uspořádané množiny prvoideálů lokalizace R[sub](P)[/sub] na částečně uspořádanou množinu prvoideálů R obsažených v P.
8 bodů
Hodnocení:
>=11 .... 3
>=17 .... 2
>=23 .... 1