K řešení testu používejte pouze tužku papír, žádné zápisky, kalkulačky apod. Pište každou úlohu na jinou stránku. Tvrzení a definice pečlivě formulujte včetně všech předpokladů. Důkazy pište stejně formálně jako ve skriptech. Odpovědi na otázky zdůvodněte. Pokud v argumentu používáte nějaké netriviální tvrzení z přednášky, uveďte to (často budete vyzváni, abyste všechna použitá tvrzení zformulovali).
Časový limit je 120 minut.
1. (9 bodů) Buď
obor integrity. Definujte, co to je podokruh a podtěleso tohoto oboru. Rozhodněte,
které z následujících podmnožin tvoří podokruh, resp. podtěleso, oboru
![Q[x]](http://latex.codecogs.com/gif.latex?Q[x])
.
![\{f \in Q[x]: f(1)\in Z\}](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\{f \in Q[x]: f(1)\in Z\} )
![\{f \in Q[x]: f(1) \geq 0\}](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\{f \in Q[x]: f(1) \geq 0\} )
![\{f \in Q[x]: deg(f)\leq0\}](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\{f \in Q[x]: deg(f)\leq0\} )
2. (16 bodů) Formulujte větu, která charakterizuje gaussovské obory dvěma velmi rozdílnými způsoby (rozveďte i definici gaussovskosti, napište, co přesně znamená existence a jednoznačnost rozkladů). Jednu implikaci si vyberte a dokažte, pomocná lemmata zformulujte.
3. (20 bodů)
a) Popište konstrukci šestnáctiprvkového tělesa. Popište jej jako faktorokruh
![\!F_{16} = T[\alpha]/(f)](http://latex.codecogs.com/gif.latex?\!F_{16} = T[\alpha]/(f) )
pro
konkrétní
,
, napište explicitně, co jsou jeho prvky a jak jsou definovány operace, popište, jak se spočítá inverzní prvek.
b) Je
![F_{16}[x]](http://latex.codecogs.com/gif.latex?F_{16}[x])
eukleidovský obor?
c) Spočtětč
)
nebo zdůvodněte, Že neexistuje.
4. (11 bodů)
a) Definujte dvěma ekvivalentními způsoby řád prvku.
b) Obsahuje grupa
prvek řádu 14? Obsahuje grupa
prvek řádu 4? Pokud ano, napište jej. Pokud ne, dokažte (pokud používáte nějaké tvrzení z přednášky, dokažte jej také).
5. (16 bodů)
a) Formulujte a dokažte Burnsideovu větu.
b) Kolika způsoby lze obarvit stěny pravidelného čtyřstěnu k různými barvami? Dvě obarvení považujeme za totožná, pokud se liší otočením čtyřstěnu.
6. (18 bodů) Hloupý student inženýrství špatně přečetl skripta z algebry a implementoval Diffe-Hellmanův algoritmus s grupou
. Číslo 1009 je prvočíslo, to mu strýček Wolfram poradil dobře.
a) Alice poslala Bobovi hodnotu 10, Bob poslal Alici hodnotu 1000. Zjistěte heslo.
b) Studentovi poraďte, v čem udělal chybu a jak byste to udělali vy. Poradit můžete i Bobovi.
c) Mně vysvětlete, proč je 100 generátor té grupy a kolik generátorů tato grupa obsahuje.
hodnocení 55-67-80 (+ 10 za kvizy)
2 hodiny času nebo 3 x 45 min pro virtuální zkoušku
K řešení testu používejte pouze tužku papír, žádné zápisky, kalkulačky apod. Pište každou úlohu na jinou stránku. Tvrzení a definice pečlivě formulujte včetně všech předpokladů. Důkazy pište stejně formálně jako ve skriptech. Odpovědi na otázky zdůvodněte. Pokud v argumentu používáte nějaké netriviální tvrzení z přednášky, uveďte to (často budete vyzváni, abyste všechna použitá tvrzení zformulovali).
Časový limit je 120 minut.
1. (9 bodů) Buď [LaTeX]R[/LaTeX] obor integrity. Definujte, co to je podokruh a podtěleso tohoto oboru. Rozhodněte,
které z následujících podmnožin tvoří podokruh, resp. podtěleso, oboru [LaTeX]Q[x][/LaTeX].
[LaTeX]\{f \in Q[x]: f(1)\in Z\} [/LaTeX]
[LaTeX]\{f \in Q[x]: f(1) \geq 0\} [/LaTeX]
[LaTeX]\{f \in Q[x]: deg(f)\leq0\} [/LaTeX]
2. (16 bodů) Formulujte větu, která charakterizuje gaussovské obory dvěma velmi rozdílnými způsoby (rozveďte i definici gaussovskosti, napište, co přesně znamená existence a jednoznačnost rozkladů). Jednu implikaci si vyberte a dokažte, pomocná lemmata zformulujte.
3. (20 bodů)
a) Popište konstrukci šestnáctiprvkového tělesa. Popište jej jako faktorokruh [LaTeX]\!F_{16} = T[\alpha]/(f) [/LaTeX]pro
konkrétní [LaTeX]T[/LaTeX], [LaTeX]f[/LaTeX], napište explicitně, co jsou jeho prvky a jak jsou definovány operace, popište, jak se spočítá inverzní prvek.
b) Je [LaTeX]F_{16}[x][/LaTeX] eukleidovský obor?
c) Spočtětč [LaTeX]NSD(x^5 + a, x^2 + a)[/LaTeX] nebo zdůvodněte, Že neexistuje.
4. (11 bodů)
a) Definujte dvěma ekvivalentními způsoby řád prvku.
b) Obsahuje grupa [LaTeX]S_8[/LaTeX] prvek řádu 14? Obsahuje grupa [LaTeX]D_8[/LaTeX] prvek řádu 4? Pokud ano, napište jej. Pokud ne, dokažte (pokud používáte nějaké tvrzení z přednášky, dokažte jej také).
5. (16 bodů)
a) Formulujte a dokažte Burnsideovu větu.
b) Kolika způsoby lze obarvit stěny pravidelného čtyřstěnu k různými barvami? Dvě obarvení považujeme za totožná, pokud se liší otočením čtyřstěnu.
6. (18 bodů) Hloupý student inženýrství špatně přečetl skripta z algebry a implementoval Diffe-Hellmanův algoritmus s grupou [LaTeX]Z_{1009} = \langle100\rangle[/LaTeX]. Číslo 1009 je prvočíslo, to mu strýček Wolfram poradil dobře.
a) Alice poslala Bobovi hodnotu 10, Bob poslal Alici hodnotu 1000. Zjistěte heslo.
b) Studentovi poraďte, v čem udělal chybu a jak byste to udělali vy. Poradit můžete i Bobovi.
c) Mně vysvětlete, proč je 100 generátor té grupy a kolik generátorů tato grupa obsahuje.
[line][/line]
hodnocení 55-67-80 (+ 10 za kvizy)
2 hodiny času nebo 3 x 45 min pro virtuální zkoušku