od Devron » 23. 1. 2006 20:58
teorie:
1) a) cemu se rovna hranice ?Q, je-li Q mnozina racionalnich cisel v (R, euklid.metika) ? Zduvodnete. 2b
b) Zformulujte vetu o existenci a jednoznacnosti reseni linearni diferencialni rovnice n-teho radu se spojitymi koeficienty. (Presne definujte takovou rovnici) 2b
2) Necht A= {(x,y) nalezi R*R: (cosx)^2 < sin (xy)} a f(x,y) = (y*sinx, y*cosx). Dokazte, ze A i f(A) jsou otevrene podmnoziny R*R. Napiste zneni vet(asi 2), ktere pouzivate, a vysvetlete jak. Pouzivate-li pojem regularniho zobrazeni, definujte jej.
3) Dokazte cast vety o derivaci limitni funkce (ovsem bez uziti teto vety): Necht (fn) 1 az nekonecno je posloupnost diferencovatelnych funkci na (a,b) (a,b nalezi R), c nalezi (a,b), (fn(c)) 1 az nekonecno konverguje a (f´n) 1 az nekonecno konverguje stejnomerne na (a,b). Pak (fn) 1 az nekonecno konverguje stejnomerne. Pouzita tvrzeni ze 3. semestru zvormulujte bez dukazu.
4) Zformulujte a dokazte vetu o derivaci slozeneho zobrazeni. Tvrznei, ktere uzivate, zformulujte bez dukazu.
5*) ...
Pocetni:
1) Pro ktera alfa nalezi R konverguje newtonuv integral:
integral od 0 do 1 (arcsin x / odmocnina (1-x)) cele na alfa to cele krat lnx dx ....strucne vysvetlete svuj postup..... sorac za slovni prepis 7b
2) Nech funkce f je tridy C2 na G:= (0,nekonecno)x(0,nekonecno) a splnuje ba G rovnici (?^2 f) / (? x^2) (x,y) = 0. Transformujte tuto rovnici do polarnich souradnic. (Napiste presnou formulaci toho, co jste spocitali, t.j. ktera funkce na ktere mnozine splnuje vyslednou rovnici) 7b
3) a) Vysetrete, zda posloupnost funkci fn(x) = n*arctg(x/n) je stejnomerne konvergentni na R. 3b
b) Najdi obecne realne reseni (na R) rovnice y(3) + 8y =0 y(3).... jako treti drivace y 3b
teorie:
1) a) cemu se rovna hranice ?Q, je-li Q mnozina racionalnich cisel v (R, euklid.metika) ? Zduvodnete. 2b
b) Zformulujte vetu o existenci a jednoznacnosti reseni linearni diferencialni rovnice n-teho radu se spojitymi koeficienty. (Presne definujte takovou rovnici) 2b
2) Necht A= {(x,y) nalezi R*R: (cosx)^2 < sin (xy)} a f(x,y) = (y*sinx, y*cosx). Dokazte, ze A i f(A) jsou otevrene podmnoziny R*R. Napiste zneni vet(asi 2), ktere pouzivate, a vysvetlete jak. Pouzivate-li pojem regularniho zobrazeni, definujte jej.
3) Dokazte cast vety o derivaci limitni funkce (ovsem bez uziti teto vety): Necht (fn) 1 az nekonecno je posloupnost diferencovatelnych funkci na (a,b) (a,b nalezi R), c nalezi (a,b), (fn(c)) 1 az nekonecno konverguje a (f´n) 1 az nekonecno konverguje stejnomerne na (a,b). Pak (fn) 1 az nekonecno konverguje stejnomerne. Pouzita tvrzeni ze 3. semestru zvormulujte bez dukazu.
4) Zformulujte a dokazte vetu o derivaci slozeneho zobrazeni. Tvrznei, ktere uzivate, zformulujte bez dukazu.
5*) ...
Pocetni:
1) Pro ktera alfa nalezi R konverguje newtonuv integral:
integral od 0 do 1 (arcsin x / odmocnina (1-x)) cele na alfa to cele krat lnx dx ....strucne vysvetlete svuj postup..... sorac za slovni prepis 7b
2) Nech funkce f je tridy C2 na G:= (0,nekonecno)x(0,nekonecno) a splnuje ba G rovnici (?^2 f) / (? x^2) (x,y) = 0. Transformujte tuto rovnici do polarnich souradnic. (Napiste presnou formulaci toho, co jste spocitali, t.j. ktera funkce na ktere mnozine splnuje vyslednou rovnici) 7b
3) a) Vysetrete, zda posloupnost funkci fn(x) = n*arctg(x/n) je stejnomerne konvergentni na R. 3b
b) Najdi obecne realne reseni (na R) rovnice y(3) + 8y =0 y(3).... jako treti drivace y 3b