od Ondřej » 11. 1. 2007 19:16
Pro každou konečnou částečně uspořádanou množinu (X,R) existuje lineární uspořádání (X,S) tak, že R je podmnožinou či rovno S.
Důkaz: Indukcí dle |X|
|X|=1:
množina je lineárně uspořádaná, R=S, OK.
Indukční krok:
Nechť x je minimální prvek (X,R). Uvažme (X',R') tak, že X'=X-{x}, R'= R průnik s (X'¤X').
Dle indukčního předpokladu existuje lineárně uspořádaná množina (X',S') tak, že R' je podmnožinou či rovno S'.
Definujme (X,S) předpisem:
S průnik (X'¤X') = S', (x,x) je prvkem S, pro každé y z X' platí, že (x,y) je prvkem S.
Protože pro všechny dvojice prvků z X, platí, že buď neobsahují x (a tedy jsou z (X',S'), a tedy jsou ony dva prvky porovnatelné), a nebo obsahují x (což je nejmenší prvek v (X,S), a tedy jsou prvky porovnatelné), je (X,S) lineární uspořádání.
Jelikož R' je podmnožinou nebo rovno S' a x je minimální prvek (X,R), je R podmnožinou nebo rovno S.
q.e.d.
[i]Pro každou konečnou částečně uspořádanou množinu (X,R) existuje lineární uspořádání (X,S) tak, že R je podmnožinou či rovno S.[/i]
[b]Důkaz:[/b] Indukcí dle |X|
[u]|X|=1:[/u]
množina je lineárně uspořádaná, R=S, OK.
[u]Indukční krok:[/u]
Nechť x je minimální prvek (X,R). Uvažme (X',R') tak, že X'=X-{x}, R'= R průnik s (X'¤X').
Dle indukčního předpokladu existuje lineárně uspořádaná množina (X',S') tak, že R' je podmnožinou či rovno S'.
Definujme (X,S) předpisem:
S průnik (X'¤X') = S', (x,x) je prvkem S, pro každé y z X' platí, že (x,y) je prvkem S.
Protože pro všechny dvojice prvků z X, platí, že buď neobsahují x (a tedy jsou z (X',S'), a tedy jsou ony dva prvky porovnatelné), a nebo obsahují x (což je nejmenší prvek v (X,S), a tedy jsou prvky porovnatelné), je (X,S) lineární uspořádání.
Jelikož R' je podmnožinou nebo rovno S' a x je minimální prvek (X,R), je R podmnožinou nebo rovno S.
[i]q.e.d.[/i]