No zda se mi, ze prof. Trlifaj dava rok od roku zaludnejsi zadani, ale zrovna tohle se mi nezda moc tezke. Asi je slusnost sem dalsim rokum napsat reseni, at vidi, co je ceka (kdyby to bylo blbe, napiste, uz si Algebry I tak dobre nepamatuju)
1) G je cyklická grupa řádu p^k, p prvočíslo, k>0. Urči nejmenší n takové, že existuje prostý homomorfismus z G do S_n.
Trik: BUNO G = Z_p^k, prvek 1 se musi zobrazit pri monomorfismu
na prvek radu p^k. V S_n je rad prvku
roven nejmensimu spol. nasobku delek cyklu v cyklickem zapisu
. Odsud plyne, ze cyklicky zapis
)
musi obsahovat alespon p^k prvku. Proto n = p^k.
2) K komutativní těleso, G graf bez orientovaných cyklů. Nechť I značí K-podprostor algebry cest KG generovaný všemi cestami v G. Dokaž a) I je oboustranný ideál v KG b) I neobsahuje žádné nenulové idempotentní prvky.
Cast a) je jasna, plyne z def nasobeni (vrchol nasobenim nedostanete). Cast b) plyne z toho, ze pro prvek
existuje hrana
, ktera nenavazuje na zadnou z ostatnich
.
3) G,H,K jsou grupy. f : G -> H, g: G -> K jsou grupové homomorfismy a Im(f) = H. Dokaž, že Ker(f) je podmnožinou Ker(g) právě tehdy, když existuje grupový homomorfismus h : H -> K takový, že h o f = g.
Prepis dukazu vety o homomorfismu, protoze H je izo G/Ker f.
4) R komutativní okruh, P prvoideál. Nechť I značí extenzi P v lokalizaci R(P) ( I = PS^(-1), kde S = R \ P). Dokažte, že I je jeho jediný maximální ideál v R(P).
Návod (přímo od Trlifaje jako součást zadání): Dokažte, že prvky R(P) \ I jsou invertibilní v R(P).
To uz si nepamatuju
5) K kategorie, D diagram v K. Dokaž, že pokud existuje limita D v K, pak je jednoznačně určena až na isomorfismus.
Skripta.
No zda se mi, ze prof. Trlifaj dava rok od roku zaludnejsi zadani, ale zrovna tohle se mi nezda moc tezke. Asi je slusnost sem dalsim rokum napsat reseni, at vidi, co je ceka (kdyby to bylo blbe, napiste, uz si Algebry I tak dobre nepamatuju)
1) G je cyklická grupa řádu p^k, p prvočíslo, k>0. Urči nejmenší n takové, že existuje prostý homomorfismus z G do S_n.
Trik: BUNO G = Z_p^k, prvek 1 se musi zobrazit pri monomorfismu [latex]\phi[/latex]na prvek radu p^k. V S_n je rad prvku [latex]\pi[/latex] roven nejmensimu spol. nasobku delek cyklu v cyklickem zapisu [latex]\pi[/latex]. Odsud plyne, ze cyklicky zapis [latex]\phi(\pi)[/latex] musi obsahovat alespon p^k prvku. Proto n = p^k.
2) K komutativní těleso, G graf bez orientovaných cyklů. Nechť I značí K-podprostor algebry cest KG generovaný všemi cestami v G. Dokaž a) I je oboustranný ideál v KG b) I neobsahuje žádné nenulové idempotentní prvky.
Cast a) je jasna, plyne z def nasobeni (vrchol nasobenim nedostanete). Cast b) plyne z toho, ze pro prvek [latex]k_1e_1+\cdots+k_ne_n[/latex] existuje hrana [latex]e_i[/latex], ktera nenavazuje na zadnou z ostatnich [latex]e_j[/latex].
3) G,H,K jsou grupy. f : G -> H, g: G -> K jsou grupové homomorfismy a Im(f) = H. Dokaž, že Ker(f) je podmnožinou Ker(g) právě tehdy, když existuje grupový homomorfismus h : H -> K takový, že h o f = g.
Prepis dukazu vety o homomorfismu, protoze H je izo G/Ker f.
4) R komutativní okruh, P prvoideál. Nechť I značí extenzi P v lokalizaci R(P) ( I = PS^(-1), kde S = R \ P). Dokažte, že I je jeho jediný maximální ideál v R(P).
Návod (přímo od Trlifaje jako součást zadání): Dokažte, že prvky R(P) \ I jsou invertibilní v R(P).
To uz si nepamatuju :?:
5) K kategorie, D diagram v K. Dokaž, že pokud existuje limita D v K, pak je jednoznačně určena až na isomorfismus.
Skripta.