Fórum studentů MFF UK

K příkladu 1...

Já jsem to řešil takto, ale nevím jestli správně...

Vzal jsem nejdřív jako bázi B vektory (2,1,1), (1,0,2) a (3,2,1) (jsou l.n.), dal jsem je do matice a vypočítal inverzi, abych zjistil B[id]kan a mohl tak vypočítat kan[f]kan ...

kan[f]kan = ((-4, 6, 3), (8, -13, -4), (-11, 16, 7)) (po řádcích)

f((2,1,1)) = (1,-1,1), f((1,0,2)) = (2,0,3), f((3,2,1)) = (3,-6,6), a my potřebujeme vektor který se zobrazí do (3,4,2), tedy x(-4,8,-11) + y(6,-13,16) + z(3,-4,7) = (3,4,2) ...

Hodil jsem to do matice a vypadl mi vektor (3,0,5). Ale nevím jestli je to správně no :( ... Když tento vektor projedu matici zobrazení, zobrazí se na (3,4,2).

Nenašla by se tu dobrá duše, která by dala radu jak si poradit s příkladem číslo 1? Není mi jasné jak si mám přebrat toto:
..splňovalo f((3,2,1)T) = (3,4,2)T...

Vektor (3,2,1)T je myšelno vůči bázy B? Pokud ano, tak se mi numericky nepodařilo dopočítat k nějakému výsledku
Pokud je 321 myšleno ke kanonické bázy, tak ale nevím jak by mohl výběr 3tího vektoru do báze ovlivnit výsledek tohoto zobrazení.

Děkuji za každý podnět k řešení

Tak já to zadání doplním za tebe :)

Zkouška Lineární algebra I, 28.1.2010 [b]A[/b]
1. Doplňte vektory (2,1,1)[sup]T[/sup], (1,0,2)[sup]T[/sup] na bázi [i]B[/i] prostoru [b]R[/b][sup]3[/sup] tak aby lineární zobrazení [i]f[/i]: [b]R[/b][sup]3[/sup] -> [b]R[/b][sup]3[/sup] definované
[sub]B[/sub][f][sub]kan[/sub] =
1, 2, 3
-1, 0, -6
1, 3, 6
splňovalo [i]f[/i]((3,2,1)[sup]T[/sup]) = (3,4,2)[sup]T[/sup]
6 bodů

2. Nad tělesem [b]Z[/b][sub]5[/sub] uvažujeme soustavu rovnic
4x[sub]1[/sub] + 3x[sub]2[/sub] + x[sub]3[/sub] + 2x[sub]4[/sub] = x[sub]1[/sub] + 2x[sub]3[/sub] + 3x[sub]4[/sub] = 0
a
4x[sub]1[/sub] + x[sub]2[/sub] + 4x[sub]3[/sub] + 2x[sub]4[/sub] = x[sub]2[/sub] - x[sub]3[/sub] = 0.
Rozhodněte, zda množiny řešení obou soustav jsou stejné či nikoliv.
6 bodů

3. Zformulujte a dokažte Cauchy-Schwarzovu nerovnost (pro prostory nad [b]R[/b])
8 bodů

4. Rozhodněte a zdůvodněte, které z následujících tvrzení jsou pravdivé:
(a) Buď [i]A[/i] horní trojúhelníková matice, tj. a[sub][i]ij[/i][/sub] = 0 pro [i]i[/i] > [i]j[/i]. Pak [i]A[sup]T[/sup]A[/i] je zase horní trojúhelníková matice
(b) Buď [i]A[/i] z [b]R[/b][sup][i]m[/i] x [i]n[/i][/sup], [i]B[/i] z [b]R[/b][sup][i]m[/i] x [i]m[/i][/sup], [i]b[/i] z [b]R[/b][sup][i]m[/i][/sup]. Potom každé řešení soustavy [i]Ax = b[/i] je také řešením soustavy [i]BAx = Bb[/i] pouze pokud [i]B[/i] je regulární matice.
(c) Buď [i]U[/i] podprostor [i]V[/i] a [i]v[/i] [latex]\in[/latex] [i]V[/i] \ [i]U[/i] a [latex]\alpha[/latex] skalár. Potom nikdy nenastane [latex]\alpha v \in U[/latex]
(d) Buď [i]f[/i] : [i]U[/i] -> [i]V[/i] lineární zobrazení a [latex]u,v \in U[/latex] dva různé vektory. Pokud [i]f(u) = f(v[/i]), pak Ker([i]f[/i]) má dimenzi alespoň jedna.
(každé za dva body)

Na jedničku bylo potřeba aspoň 21 bodů.

Moja verzia

1 doplnte vektory (2,1,1), (1,0,2) an bazi B prostoru R3 tak aby linearni zobrrazeni f: R3->R3 definovane

[sub]B[/sub][F][sub]kan[/sub]=
2 1 4
-1 2 3
3 -2 -1

splnovalo (1,1,1) parti Ker(F)

2. Uvazujme 2 podprostory prostoru Z[sub]7[/sub][sup]4[/sup] definovane

U=span{(4 4 4 2),(2 5 1 1), (2 6 3 1)}
V=span{(1 2 3 4),(2 0 5 1)}
rozhodnite zda U=V

3 Sformulujte Gram-schmidtovu ortogonalizacnu metodu a dokazte jeji spravnost

4. (Ano/nie) + dovod
a) Bud A horni troujehlnikova ctevrcova matice, tj a[sub]aj[/sub]=0 pro i>j. Par A[sup]2[/sup] je zase troujehlnikova matice
b) Bud A parti R[sup]mxn[/sup] b parti R[sup]m[/sup]. Mnozina reseni soustavy Ax=b je rovna mnozine reseni soustavy BAx=Bb pro kazdou ctvercovou matici B parti R[sup]mxm[/sup]
C) Bud U podprostor V a u,v patri V\U. potom nikdy nenastane u+v patri U
d) Bud f U->V linearni zobrazeni a dim(U)>dim(V) potom jadro Ker(f) obsahuje aspon 1 nenulovy vektor

Přiblížné zadání dle mé paměti:

1) zadány dva vektory, které se měly doplnit na bázi B tak, aby
zadaná matice lineárního zobrazení z B do kanonické báze
zobrazila z R[sup]3[/sup]->R[sup]3[/sup] zadaný vektor na zadaný vektor

2) zadané dvě soustavy rovnic typu Ax=0 na Z[sub]5[/sub], za úkol zjistit, zda-li mají stejnou množinu řešení

3) zformulujte Cauchy-Schwarzovu nerovnost a dokažte

4) tvrzení ano/ne:
(nepamatuju)


Doplním to, až budu mít písemku v ruce. Přišlo mi to mnohem lehčí, než na předtermínu, ale přesto je riziko, že to nenapíšu. Holt ráno s má spát a ne psát ;)